數學與頭腦相遇的地方

出版社：天下遠見出版股份有限公司  作者：柯爾．K.C.（Cole， K.C.） 著  页数：300  

前言

　　有人情味的果實　　──柯爾　　無論什麼理由，在最基礎處，大自然寧愛美。　　——物理學者格羅斯（David Gross），加州大學聖巴巴拉分校理論物理學院院長　　數學似乎有一種令人驚異的能力，可以告訴我們東西是如何運轉的，為什麼事物是按它們現有的形態存在的，及宇宙能告訴我們些什麼（只要我們願意去學習及聆聽）。令人驚奇的是，這個本領來自一種似乎很抽象、客觀而無人情味的人類活動。　　可是，我們看待自己的方式，與我們所知的、或自認為已知的大自然客觀樣貌之間，有非常密切的關係。數學非但告訴我們重力的運用（因而可以建造出更好的橋樑），也告訴了我們一些普遍性的真理，這些真理影響了我們如何思考及感受（可以用來造出更好的社會）。物理學家法蘭克．歐本海默[1]喜歡把這些看成科學中有「人情味」的果實。　　誠然，數學可以應用在我們從學校學來的東西：造橋樑、結算支票本，及計算贏樂透獎的機率。可是它也可以闡明心中的迷惑，非但是科學家午夜冥思時的迷惑，還包括了藝術家及詩人、學校教師、心理學家、情侶、及為人父母者的迷惑︰我們怎樣能在大自然中尋出一個意義出來，包括人的本性？真理的本質是什麼？　　人類從上帝及方程式中尋求這些答案（有時在二者中同時尋找），譬如透過寫劇本及研究螞蟻來尋找。奇怪的是，這些能協助闡明「光是一種上下起伏的電磁場」的思考渠道，同樣也能搜尋多種社會問題的成因。在審判辛普森[2]時，也用到了用來證明頂夸克（top quark，最基本的粒子之一）存在的同一步驟（請見第十三章）。　　這是一種使人興奮飄然的意識︰數學這看上去似乎枯燥無味的東西，與我們做為社會基礎的深奧哲學理念之間，居然有這麼緊密的關聯。藉由學習數學，我們可以把每件事物掌握得更好——從晦澀難解的物理問題，到如何在離婚案中定出公平的財產分配。　　這就是在本書中，我嘗試把數學理念與解決看似不相關的問題連接起來的原因——從火星上的外星生命到「學院炸彈案」之謎[3]。這是一種嘗試，去示範數學如何能告訴人們哪些是真正該去思索及擔心的問題。如果我在本書中能完成一件事的話，那就是指出了，對生活品質的興趣不會因為量化的論證而有所減。質與量是不可分的。科學家及數學家，聖徙及哲學家，都在搜索「存在」的最基本問題，即怎麼樣和為什麼。雖然他們對於證明和證據都有不同的標準，可是量的洞察真的能幫我們去瞭解質方面的問題。　　當然，數學工具不能替代藝術家、演員、經濟學家、心理學家、歷史學家、作家、宗教領袖的洞察，可是這些工具可以供應急需的新透視。　　數學不是專管數字的工作　　這本書的結構分成五個不等長短的部分。在第一章〈數學和事物到底有什麼關連？〉中，我表達出這個理念，即在許多方面數學不是專管數字的工作；它是一種思考的方法，一種擬出問題的方法，可以讓我們把事件的內臟翻出，把藏在底下的翻上，因而可以得到對事物的真實本質的意識。當然數學家都知道這一點，可是大多數對這門科學不熟悉的門外漢都不知道。這一章要瀏覽一些不在冀望之中的數學領域，從每日的頭條新聞到「金律」[4]。　　第一部〈心靈與數學相會的地方〉示範了一些理由，說明為什麼我們需要數學來幫助從紛亂中篩出真相。第一點是，數字自己不會說話，因為我們的頭腦擋了路。對每一個人來說，某些關係應當是很明顯的，可是就是不能穿透生理和經驗所擱下的、把智識和真理隔開的面紗。真的，這些心思過濾器使人的頭腦難以（或使其不可能）看到事物的真相，無論這真相是什麼。這些過濾器都是人類生理及心理上所需有的，因此不必去想如何「醫治」它們。可是，能知道它們在哪裡就可以幫上不少忙了，就如協助你開車一樣，如果知道你的車要向左偏去，就可以把方向盤向右扭，以資補償。　　第二部〈對物質世界的解釋〉，我要探索及澄清一些因物質實境投入視野而產生的障礙（我並不是說，能把我們頭腦中的那些混亂狀態，與凌亂的現實完全分開）。被不停的干涉及不斷改變場合混淆的訊號，在我們目視之下熔入「量」中的「質」或熔入「質」中的「量」，複雜到不可能解開的亂麻網絡，觀測的不可捉摸性，以及作預測的風險性——這些都使得欲從資訊中得到一些見識的技藝，變成一種挑戰，即使對最熟練的數學家亦然。　　第三部〈對社會世界的解釋〉要給讀者一些「數學如何能闡明世人的某些問題」的滋味，如公平。例如，一門叫做「賽局理論」的數學建議道：遵守「金律」非但是道德性的行為準繩，也是能得到好結果的有效策略。　　第四部、也是最長的一部〈真理的數學原理〉是本書宗旨的核心，描寫的是數學家能經常顯露出的一些驚人的基礎關係——因和果之間的關係，例如，證據及證明，真理和美。最有趣及最刺激的部分（即高潮，至少對作者來說是如此），是一位姓諾塞（Emmy Noether）的年輕數學家如何想出一個能使愛因斯坦的廣義相對論成立的方法；她展示出對稱性與基本的、不變的自然律之間的連鎖關係。換句話說，這個能使雪花美觀的性質，也彰顯了控制整個宇宙的定律。美與真理是同一枚硬幣的兩面。　　【注釋】　　[1]原注：法蘭克．歐本海默（Frank Oppenheimer）是舊金山探險博物館（Exploratorium）的創辦人。他是「原子彈之父」羅伯．歐本海默（J. Robert Oppenheimer, 1904-1967）之弟。麥卡錫（Joe McCarthy）時代，法蘭克由於和平主義的論調，也被列入黑名單，遭排斥於物理學界之外。（譯注︰麥卡錫是一九五○年代的美國參議員，信口開河，不論青紅皂白把許多人戴上紅帽子。有一度被人認為是反共先鋒，後來其把戲被拆穿，名譽掃地。可是已經有許多被害者，包括歐本海默兄弟。最後參議院投票表決，公開斥責麥卡錫的行為，認為有辱參議員的身分。）　　[2]譯注：辛普森（O. J. Simpson），著名美式足球健將，在洛杉磯以殺妻罪被提起公訴，可是因為警方無能，把證據搞糟而被陪審員判無罪。　　[3]譯注：美國自一九七九年以來，有一位不知名的人把炸彈郵寄到不同學院中的不相關的人去，炸死及炸傷二十餘人。警方把這案稱為「大學炸彈者」（university bomber，簡稱為 unabomber）。後來大學炸彈者在報上發表反對科技的「宣言」，被他的兄弟認出，因而在蒙大拿州一處偏僻地方被找到，當時他正隱居於一間自己搭的小屋中。大學炸彈者名為 Kazynski，為一天才，哈佛大學數學博士，曾在加州大學柏克萊分校擔任助理教授。性格乖僻，教學不久後辭職，就此到被捕前皆不知去向。他認為科技是罪惡之本，因而專向學院及科技相關人士寄匿名包裹炸彈。現被判終身隔離監禁，不得保釋。　　[4]譯注：「金律」（golden rule）源出基督教聖經《新約》馬太福音７：12及路加福音６：31「你們願意人怎樣待你們，你們也要怎樣待人」，和孔子的哲學類似，可是倒過來說。孔子說「己所不欲，勿施於人」，而這金律說的是「己所欲，施於人」或「推己及人」。　　

内容概要

　　經濟學家說，金錢的數目愈大，花在討論怎樣去使用的時間愈少。為什麼人的腦袋瓜，對愈大的數字愈不敏感？　　科學家能預測哪一天哪個地方可看到日食，為什麼沒法預測哪一天哪個地方會發生地震？　　統計學家說，35歲以上受過大學教育的未婚女性，想找到如意郎君的機率，比遭恐怖份子刺殺的機會還小。真是這樣嗎？　　社會學家說，奇蹟發生了：紐約市的犯罪率原本是全世界最高，前幾年突然急劇下降。這是警方威力掃蕩的結果，還是歹徒集體良心發現？　　政治學家說，最高票當選制是最壞的選舉制度，因為它能使一位不見得是最棒的候選人當選。那麼還有更好的票選方式嗎？　　外交家說，誠意合作，以德報德，以直報怨，是最成功的外交手腕。這是老掉牙的口號教條吧？　　小朋友問：生日蛋糕該怎麼切，才能讓大家都歡喜，大家都覺得公平？　　這些問題都可以藉由數學來解答。數學並不是不食人間煙火的學問，在「數學與頭腦相遇的地方」，會讓你的腦筋急轉彎，　　想清楚、瞧明白許許多多發生在生活周遭，以前只能霧裡看花的事物。

作者简介

　　柯爾〈K. C. Cole〉 　　美國南加州大學安納堡傳播學院教授，《洛杉磯時報》科學專欄作家（1994年迄今），經常在《紐約客》、《紐約時報》、《新聞週刊》、《華盛頓郵報》、《哥倫比亞新聞評論》等媒體發表文章。　　1995年、2004年、2005年三度獲得「美國最佳科學寫作獎」，2002年獲得「美國最佳科學與自然寫作獎」。由於頻頻獲獎，而有「科學寫作界之達文西」的封號。著有《數學與頭腦相遇的地方》（The Universe and the Teacup）、《物理與頭腦相遇的地方》（First You Build a Cloud）等書。柯爾女士成長於巴西首都里約熱內盧、美國紐約州，曾在東歐待過數年，早年的寫作焦點在政治評論與女性議題。1980年代，與舊金山探險博物館（Exploratorium）創辦人法蘭克．歐本海默（Frank Oppenheimer）成為知交後，開始對科學產生濃厚興趣，從此鑽研科學，筆耕不輟。育有一女一子，目前定居在加州聖摩尼卡。

书籍目录

導 讀 數學和人生問題及哲學 丘宏義——數學不再是象牙塔中供奉的偶像；數學已經走到人間的塵世中。 前 言 有人情味的果實——數學不是專管數字的工作；它是一種思考的方法，一種擬出問題的方法。 第一章 數學和事物到底有什麼關連？——相對論已經給了我們答案：我們只能觀測到關係。而量子理論給了另一個回答：我們只能觀測到機率。 第一部 心靈與數學相會的地方 第二章 指數式放大——以年息百分之七的複利增值，你的錢在十年後加一倍。 第三章 預估風險——三十五歲以上、受過大學教育的未婚女性，想找到夫君的機遇比遭恐怖份子刺殺的機會還要小？ 第二部 對物質世界的解釋 第四章 量度男人、女人、及事物——把一幅畢卡索的畫放在顯微鏡下，你就沒辦法欣賞了，你只能辨識粗點的圖樣。 第五章 尺度的問題——對蒼蠅而言，水更具有捕蠅紙的威力；一旦蒼蠅身上沾濕了，就會被黏到死。 第六章 突現的性質︰多帶來不同——群眾歇斯底里症不會發生在一個人身上，就如一個人的病不能稱為傳染病一樣。 第七章 預測的數學——這就是科學終歸要告訴我們的︰如何及為什麼，而不是在哪裡或什麼時候。 第八章 稻草堆中的訊號——科學家及藝術家都學會注意別人將要掃在地毯下的穢物，他們學會變成很好的注意者。 第三部 對社會世界的解釋 第九章 選舉︰吉尼爾是對的——她告訴人們的是他們不想聽的：我們的選舉制度既不公平亦不民主。 第十章 公平的分配：所羅門王的智慧——當我的小孩說某事是不公平的時候，他們真正的意思是，他們得不到想要的東西。 第十一章 和藹體貼的數學原理︰數學證明了金律——從這些數學研究中冒出來的策略，聽上去很像老式的說教︰合作，原諒他人。 第四部 真理的數學原理 第十二章 事情因何發生？——灰最後還是回歸灰，塵回歸塵，可是在灰與灰、塵與塵之間，就有了人、狗及秋海棠。 第十三章 舉證的重擔——許多人把「若ＤＮＡ比對符合，辛普森就有罪」與「若ＤＮＡ比對不吻合，他就無罪」看成完全一樣…… 第十四章 諾塞與愛因斯坦：真理的不變性——和愛因斯坦一樣，諾塞看穿了把看似大不相同的事物聯繫在一起的隱匿結構。 附 錄 延伸閱讀 

章节摘录

　　第五章　尺度的問題　　你怎樣才能把五○○，○○○磅的水浮懸在空中，而不用到看得見的支架？　　（答案︰把它變成雲。）　　——藝術家米勒（Bob Miller）　　受邀去遊歷每一件事物都比我們世界中的要大許多或小很多的世界，似乎帶有一種迷人的魔力。去冥想海洋或天空的廣闊，或者在顯微鏡下觀看池溏中拿來的污水，或是去想像原子的內在生活，這些行為都把我們遠遠帶離到日常生活之外的領域，進入一個只能依靠想像力才得跨入、極有異域情調的景色中去。　　能長成巨人的滋味是什麼？變成一隻小蟲的大小呢？愛麗絲吃了一枚蘑菇，就脹大到如美西感恩節遊行隊的大氣球，從她的屋中爆出去；她再多吃一點，就縮小成「不可思議的不斷縮小的女人」，她永遠的恐懼就是掉到洗手盆排水口裡[1]。從「小史都華」到「金剛」，從「親愛的，我把孩子變小了」到「姆指人」[2]，這種能把大小變化的觀念，對我們的心靈顯然有一股極強的吸引力。　　有很好的理由去想像，不同尺度的世界也是截然不同的世界。一加一可能大於二；在量上面的改變，可以引起在質方面極大的不同。　　當物體的大小有了基本的改變時，就有不同的自然律去管理它，時間的滴答聲也因不同的鐘而異，新的世界自無中生出來，而舊的世界則完全溶化不見。舉個例子，有一個奇怪的巨人——當然，毫無疑問的，他高大而強壯。可是高大的身材帶來了顯然的不便。按照霍登（J. B. S. Haldane, 1892-1964）在他的經典散文〈大小要正好〉中說的，一位六十英尺高的巨人，每走一步就會把他的大腿骨碎裂。　　原因是很簡單的幾何原理。高度只按一維增大，而表面積則按二維增大，可是體積則按三維增大。如果你把一個人的身高加倍，支持他抗拒重力的肌肉的截面積會變大四倍（二乘二），而他的體積，因此也等於重量，會增大為八倍。如果你把他的身高加為十倍，他的體重要增加為一千倍，可是支撐他的肌肉及骨骼的截面積只增為一百倍。結果是︰骨骼碎裂了。　　要支持這麼大的體重，需要結實而粗的腿。你可想一下大象或河馬吧。對牠們來說，跳躍完全是不可能的。超人一定只能是跳蚤的大小[3]。　　長得愈大，跌得愈重　　跳蚤當然經常表演超人的絕技，這就是現在幾乎已絕跡的跳蚤馬戲團的科學原理[4]。這些微不足道的小生物可以拉動比它們體重重了一六○，○○○倍的物件，可以跳到它們身高一百倍的高度。小生物的體重和它們的肌肉截面積相比起來，使得它們似乎無比強壯。雖然它們的肌肉比起我們的不知要微弱多少倍，可是它們要去拉動的質量更加小很多很多，因而使每一隻螞蟻都成為超生物，跳過高建築似乎也不成問題[5]。　　巨人跌倒也不行。這古老的諺語也是真的︰「長得愈大，跌得愈重」。而愈小，跌在地上也愈輕。這原因還是幾何。如果一隻大象從高樓跌下，重力把它的極大質量重重拉下來，而牠那相對說來較小的表面積，對空氣的阻力則幾乎沒有。反過來說，一隻小老鼠的體積（及質量）小到重力沒有什麼可以去拉的，而相對表面積大到就像它有一頂長在身上的降落傘一樣。　　霍登這麼寫道，一隻小老鼠可以從一千碼（約九百公尺）的懸崖跌下，毫髮無傷。大老鼠卻可能傷重致死。而人呢，必死無疑。而馬呢？霍登告訴我們：「血肉橫飛！」　　同樣的相對關係，也可以應用在無生命的下墜物體，例如水滴。大氣中溼答答的充滿了水氣，即使水氣沒有我們能看見的雲的形象。可是，一旦一粒微小的水滴開始吸引其他水分子到它的邊上，事情就疾速發展了。當這成長中的水滴直徑增加一百倍之際，它的表面積增加的倍數為一萬，而它的體積增加的倍數則為一百萬倍。大的表面積能反射更多的光，因而使雲層變成可以看得見。這個增加了不知多少倍的體積，最後大到能被重力拉下，墜到地面成為雨點。　　按照研究雲的專家的說法，空氣中的水滴同時被靜電的吸引力拉住（這電力把水滴拉聚成群成為雲）以及被重力往下拉。當這些水滴很小的時候，它們的表面積和體積相對來說極大，這時是電力在管事，因此水滴浮懸在空中。一旦水滴的大小大到某程度後，重力就一定贏。　　針頭大小的物體幾乎察覺不到重力。重力是只有大尺度的物體才能感覺到的力。把分子聚集在一起的電力，比重力強了近乎一兆倍。這就是為什麼只要在空氣中有一絲一毫的靜電力，就能使你的頭髮豎立起來。　　對跳蚤大小的超人來說，這些電力會造成很大的問題。首先，如果他想要飛得比子彈還快的話，會遭遇到極大的困難，因為對他而言，空氣就像濃極了的分子湯，從任一方向都可把他攔住。那就像在濃稠的糖漿中游泳一樣困難。　　蒼蠅可以毫無困難的在天花板上倒著走，是因為把它們的腳黏在天花板上的分子膠的膠力，要比把它們微小的重量向下拉的重力強得多。可是，水的電力可像磁石一樣吸引住昆蟲。如霍登指出的，水分子的電力使得昆蟲想去喝水的動作，成為一種危險的絕技。一隻彎下身去小水坑喝水的昆蟲遭遇到的危險性，就如一個人在懸崖邊上彎下腰去採灌木上的漿果一樣。　　水是最具黏性的物質之一。剛淋浴過的人身上帶了約有一磅重（○．五公斤）的水，可是這幾乎不能算是負荷。不過按照霍登的說法，一隻剛淋浴過的小老鼠身上帶的水，就幾乎相當於它的體重。對蒼蠅而言，水更具有捕蠅紙的威力；一旦蒼蠅身上沾濕了，就會被黏到死。按霍登的說法，這就是為什麼昆蟲有長的針狀吻（嘴）的原因。　　事實上，如果你變成昆蟲的大小，生活中的每件事幾乎都不同了。一個螞蟻般大小的人永遠寫不出書來，因為一台螞蟻大小的打字機的鍵盤都會黏在一起，一本書的書頁亦然。螞蟻永遠不能生一團火，因為最小的火焰也要比它的身體大。

媒体关注与评论

　　這本書不像最近的許多數學書，只想解析、追究、壓制數學恐懼症。它反倒大方的承認數字與我們的腦袋、心思早已掛鉤，好也罷、壞也罷，甩都甩不掉，如此反而可以懷著輕鬆愉快的心情重新看待數學。柯爾的幽默和淵博知識，使得這本書充滿了睿智和開闊的視界。　　——梭貝爾，《尋找地球刻度的人》作者　　柯爾讓我們分享了數學心靈，發現抽象之美。你也會和她一樣，被數學的奇妙所振奮。　　——霍夫曼，1981年諾貝爾化學獎得主