如何學好中學數學

出版社：天下文化  作者：任維勇 著  
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前言

　　主編的話「觀念數學」第一發林榮崧（天下文化科學館總監）　　2008年7月29日，鳳凰颱風飄掠台灣過後，聯合報頭版登出斗大的頭條新聞，不是災難消息，也不是政壇風暴，而是：「奧林匹亞，我奪五金，《觀念物理》打下基礎！」　　原本在中學生、老師和關心子女教育的家長之間，默默蓄醞多年的「觀念熱」，自此突然沸騰起來，幾乎人人皆知。　　很多讀者詢問：天下文化出版了《觀念物理》、《觀念生物學》和《觀念化學》，為什麼沒出版《觀念數學》？會不會出版《觀念數學》呢？　　事實上，從《觀念物理》一推出，我們就在尋找「能確實幫助中學生正確學習、理解及思考」的《觀念數學》叢書。直到今年2月，有幸看到任維勇老師的初稿，才讓我們拍案驚嘆：對！這就是完全符合我們心中定義的《觀念數學》書稿！　　我們希望，任老師的這本《如何學好中學數學——觀念數學（1）》，能獲得各位優秀教師的熱烈推廣，尤其是從今年夏天起，即推薦給中學生當暑假讀物，儘快幫助學生和家長，建立正確學習數學的觀念和方法；同時也期盼，擁有中學教學實務經驗的老師與教授，能夠針對中學數學課程的內涵，不吝於提筆分享您的灼見，協助天下文化拓展及充實《觀念數學》叢書。前言　　執教二十多年，看過很多令人同情的學生、無助的家長，他們耗費了很多時間與金錢，卻沒有收穫。只因找不到學習方法，造成學生的痛苦，家長的無奈。學生最大的問題在於學習方法，大多數同學都沿襲不正確的方式，效果始終有限，因為他們已經養成了固有的學習習慣，不是三言兩語可以改變的。很多老師都會不斷提醒學生：「要理解，要思考，不要死背。」可是很少人能告訴學生如何理解、思考？如何學好高中數學？　　所謂不正確的方式，就是過度使用記憶與熟練，代替應有的理解與思考。很多學生就是這樣學數學：上課專心聽講、抄筆記，回家後拿出筆記，先背公式，然後將老師教過的再看一次，或照著筆記再算一次，然後拿出參考書，努力做題目，會的就做，不會的就看解答，不懂的就記下來。　　這樣也不能說錯，只是好像少了什麼？不錯，少了思考。高中數學最重要的是邏輯的因果關係，而計算過程是工具。模仿與熟練只適用在最基本處，真正的學習是要學到解決問題的能力。只在記憶與熟練，當然效果有限。　　簡單說，數學學習的最後成果是解題，解題的過程需要思考。數學思考與生活思考很類似，只是需要更精確，而且先要對數學內容有充分理解，才能夠運用數學知識做思考工具。深入的理解、精確的態度與自然的思考，就能學好數學。詳細地說，就是本書的內容。　　坊間也有不少有關數學學習的書籍，大多是翻譯國外著作。有的適用於研究者，談的是大環境、大方向；有的適用資優生，談的是解題的技術；有的只是用趣味碰觸數學，而無實際幫助。沒有一本針對高中生的數學學習。　　我用了兩年多寫出這本書，針對高中生，詳細寫出正確的學習方法，其中範例也都取自目前國、高中的教材。同時也告訴學生為什麼要這樣做？只有先了解為何現在的學習無效，才能了解為什麼要改變自己習慣的方式，才願意試著用本書所說的方法。其中一部分的內容，也合適家長閱讀，讓家長也能了解該如何幫助孩子。　　本書所說的方式是高標準的，如能完全做到，必能成為數學高手。開始時也許很難完全做到，只要確認學習方向做下去，一旦習慣了，不但能學好數學，更能學得輕鬆，並且享受數學的樂趣。　　不同的階段，各有不同的學習方法，國小、國中、高中、大學的學習方法與重點，都有些不同，本書針對的正是高中階段的數學學習。有少數國中生，已經能以本書所談的方式學數學，這些學生多半也是能夠輕鬆又快樂學好數學的學生。不過，限於國中生的心智成熟度與課程需要，也不用強求，以免揠苗助長，大約在國三時逐漸改變即可。至於高中生，就必須用本書的方式學習了。將來上大學後，學習必須更深入，思考必須更精確。本書共分四章。　　第一章為打破數學學習的迷思，我列出11項似是而非、不完全正確、卻是很多人的直覺想法。我深入說明或加以修正，希望破除這些迷思。建議家長與學生一起閱讀，也可以一起討論，當你們也能體會出，只靠記憶與熟練無法學好數學，才能真心願意去改變學習習慣。　　第二章為數學的特性與學習，這裡要重建學生對數學的正確認識，也說明正確的學習態度。我要強調，學習數學所需要的思考，與我們日常的思考差別不大，只要運用自己的智慧，將它用在數學上。　　第三章為正確學習數學的方法，也是本書最重要的一章，內容即在詳細解說學習數學的細節與數學思考的方法。請學生仔細閱讀，並且想一想是否這才是理解數學的方法？盡量照著做，最好還能經常翻閱本章，並檢視自己的學習。剛開始沒辦法完全做到，也沒關係，先至少做到一部分，就會對數學有全新的感受，覺得有效了，再更全面地去做。　　第四章為解決數學學習的問題，這一章我將學生的問題細分成多種類型，直接針對各種類型，提供最可能的原因與改進的方法。家長和學生可以一起想想問題出在哪裡，再做相應的改正。　　附錄是簡易邏輯，如要精確的學習數學，了解數學的邏輯是必要的，學生若還不清楚，就必須學習。我盡量用淺顯的方式說出重點，並將學生最容易犯的錯誤列出來。　　能夠完成這本書，要感謝所有教過我與被我教過的人，是你們讓我對數學學習有這麼深的感受。尤其是老婆在我寫書期間對我的包容，以及北一女中溫、良兩班寶貝給我的鼓勵，其中蘇意涵、林妏霙同學更給我很多寶貴意見。如何使用本書──家長　　首先，致上個人真摯的敬意。會閱讀本書的家長，不僅是關心孩子課業，而且是會去尋求適當方法的家長。　　教育孩子真的是門學問，也是挑戰，是一種甜蜜的辛苦。對父母而言，孩子的成長只有一次，失敗就很難重來。我也是孩子的爸，常常覺得教育的資訊不易取得，就書籍而言，只有學齡前教育比較充足，上國中以後，幾乎就只看得到參考書，明知道那是填鴨，可是有別的選擇嗎？　　上高中以後，很少家長有辦法自己幫助孩子，我遇過不少父母是博士、教授，可是術業有專攻，他們也無法樣樣顧到。像我是高中數學老師，我也只懂數學，孩子的英文我就一竅不通了。　　有人以為只有成績不好的學生家長才會覺得困擾，實際上，關心孩子的家長多半都戰戰兢兢的看著孩子成長，不管是生活還是課業，成績不好會令人擔心，成績好的希望他更好，有時看到家長的焦慮甚至超過孩子。　　這裡順便提醒各位家長：去尋求更好的方法幫助孩子，而不是一味的要求孩子。還有，不要讓孩子看見自己的焦慮；父母的焦慮有時也會變成孩子沉重的壓力。　　即使各位家長完全不懂數學，那也無妨，請先仔細閱讀本書第一、二章，去了解數學的特性與學習的方式。這兩章與數學內容無關，每個人都可以看懂，也可以和孩子一起看，一起討論。了解數學的特性，才有辦法幫助孩子，而不只是一再要求孩子努力得高分而已；同時，也可以知道孩子面對的困難是什麼，該怎樣去循著正確的方法學數學。然後再看第四章，針對孩子的問題，提醒孩子改正習慣。如何使用本書──國中畢業生　　首先，恭喜你進入學生生涯的新階段，既期待又怕受傷害；也恭喜你閱讀本書，踏出了正確的第一步！過去很多優秀的國中畢業生，到了高中就受到嚴重的傷害，於是很多人盡量提早學習高中教材的內容，但其實，更重要的是要學習高中該有的學習態度與方法。　　曾聽過一個建中資深老師說，他遇過一個學生，從高二開始，數學通常只有兩種成績：0分和5分，0分是正常的，5分是因為題目有錯而送分。能考上建中，當然基測的數學成績一定很高，怎會有如此下場？不能適應高中數學，最後由挫敗到排斥變成放棄，令人惋惜。　　我必須提醒，高中數學與國中數學真的很不同，難度與廣度加大是必然的，學習的方法也勢必需要大幅的改變。回想從小學到國中階段，就有不少人被數學打敗了。通常不是不用功，而是學習方法無法隨階段改變，事實上，求學（或人生）的每一個階段，都有不同的方法和方向，不能順應變化而調整，勢必被淘汰。　　請先仔細閱讀第一、二章，先了解高中數學的難度，做好心理準備。再仔細閱讀第三章，完全不懂的例子可以跳過，等學到時再翻閱比較。要隨時拿出本書檢驗自己的學習方法是否正確。記著，本書提醒的是方法，照正確方法做下去才會有效果。　　祝你們上高中後都有順利的起步。如何使用本書──高中生　　如果你已經讀完了高一數學，一定能體會高中數學變化多端，難以捉摸。閱讀本書後，一定會有很深的感觸。　　不論你現在的數學成績如何，請先仔細閱讀第一、二章，想一想書中所說的是否有道理。再仔細閱讀第三章，比較一下自己的學習。對於定義、定理的理解夠深入嗎？解難題時有自己思考嗎？改變學習的方式是很困難的，了解自己是改變的第一步。　　如果你正為數學苦惱，改變數學學習方法是唯一的路。改變永遠不遲，初期可能不適應，甚至因為破壞既有的節奏而痛苦。努力照著本書去做，做不徹底也無妨，先要求走對方向。首先掌握第三章第5節的「基本解題策略」，再配合深入的學習，試著自己去解題，很快就能對數學有新的感覺。　　如果你對於學習數學已有心得，你應該已經有了正確的方向，請你仔細研讀第三章第8節的「構築解題策略」，相信你一定會發現更多好方法，你也一定願意用更多的思考。本書會讓你再突破，讓你的數學百尺竿頭更進一步。　　祝你們都能在數學中找到樂趣。

内容概要

　　★作者任維勇老師，現任北一女數理資優班數學老師★適讀對象：國中畢業生、高中生、關心孩子數學學習的家長★附現行高中課程的實例解說從國小、國中，到高中、大學，不同的階段，有不同的學習方法與學習重點，《如何學好中學數學》專門針對高中階段的數學學習，清楚指出高中與國中的學習方法有何不同，並以現行課程的實例來解說，是全方位的高中數學學習方法。這本書要告訴你：學習方法正確了，不但能學好數學，更能學得輕鬆。

作者简介

　　作者簡介任維勇台灣大學數學系畢業，師大數研所碩士，有二十多年教學經驗，現任北一女數理資優班數學教師，並為台北市教育局高中數學輔導團成員。 

书籍目录

前言第一章　打破數學學習的迷思迷思1. 國中數學是這樣學的，高中數學也應該這樣學。迷思2. 國中數學都學不好，高中數學沒救了。迷思3. 數學學不好就是因為演算題目不夠。迷思4. 多背點公式就能解出題目了。迷思5. 多學點特殊技巧就可以解出難題。迷思6. 懂不懂沒關係，反正我會做題目就好。迷思7. 我懂這是什麼，只是我說不出來。迷思8. 數學考不好，趕快去補習就可以了。迷思9. 數學考不好，趕快請家教就可以了。迷思10. 數學學不好，因為我的頭腦不好。迷思11. 多看幾遍自然就懂了。第二章　數學的特性與學習1. 學習數學的歷程──一張藍圖2. 數學是理解的科目3. 數學題目可以分成三種層級4. 數學是絕對精確的5. 數學需要不斷的思考6. 數學題目非常多又非常相似7. 數學的內容是環環相扣，累積起來的8. 數學是有趣的9. 只要方法正確，?個人都能學好高中數學第三章　正確學習數學的方法1. 新學一個定義1-1 數學化的定義1-2 深入了解一個定義1-3 數學化定義也可能有很多種1-4 直觀的定義與數學化的定義交互使用1-5 定義有主要部分與附帶條件1-6 類似定義的數學式2. 新學一個公式或定理2-1 哪些公式要背？2-2 深入了解一個定理2-3 實例說明3. 如何去記一個公式或定理3-1 多半公式不需要死背3-2 算熟了就自然記下來3-3 用特例去推廣公式3-4 用性質或特例去記公式3-5 可以互推的公式只記一個3-6 類似公式一起背3-7 用一個公式去推其他公式3-8 只記公式的關鍵3-9 用圖形記公式4. 注意等價的關係5. 基本的解題策略5-1 什麼是解題策略？5-2 條件與求解（或求證）數學化5-3 找尋條件與求解的關係5-4 化簡的方向5-5 假設未知數，再列方程式解之5-6 條件式可以用來消去變數5-7 題目屬於哪個範疇？有什麼公式可用？5-8 可否代換成簡單的型態？5-9 運用解題策略6. 熟練基本運算──百分之百的理解7. 理解標準題──提升理解的層次7-1 這個題目怎麼做？7-2 為什麼這樣做是對的？7-3 為什麼會想到要這樣做？7-4 這一類的問題該怎麼做？7-5 多幾個例子7-6 學會深入思考問題8. 學完一個段落──構築解題策略8-1 小範圍的解題策略8-2 解題策略實例1：餘弦定理8-3 中範圍的解題策略8-4 解題策略實例2：餘式定理8-5 解題策略實例3：進一步的三角問題8-6 大範圍的解題策略8-7 解題策略實例4：指數問題8-8 解題策略實例5：比大小問題8-9 解題策略實例6：算幾不等式8-10 要建立自己的解題策略9. 學習解思考題9-1 解題思考的過程9-2 解思考題的實例9-3 解完思考題之後9-4 有很多不同的解法10. 考試作答技巧10-1 看題目時慢一點、仔細一點10-2 做完一題後，立刻重新看一遍題目10-3 用代入特殊數值得答案10-4 能不能猜答案？10-5 隨時記得驗算10-6 作答卷寫清楚10-7 其他該注意事項11. 如何避免粗心錯？11-1 純粹的粗心錯11-2 不精確的粗心錯11-3 不專心的粗心錯第四章　解決數學學習的問題1. 我的孩子在學校上數學課都聽不懂，怎麼辦？2. 我的孩子上課都聽懂了，可是考試都不理想，怎麼辦？3. 我的孩子小考都還不錯，可是段考就不太理想，怎麼辦？4. 我的孩子總是容易粗心錯，怎麼辦？5. 我的孩子記性不好，公式總是背不起來，怎麼辦？6. 我的孩子各科都很好，只有數學差，怎麼辦？7. 我的孩子每次打開數學課本就發呆，怎麼辦？8. 資優生也可能會有問題附錄　簡易邏輯──數學的規則

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　　師大數學系 洪萬生教授、台大數學系 張海潮教授、中央大學數學系 單維彰教授、高雄大學應用數學系 游森棚副教授、北一女中 翁錫伍老師 　　本書出自第一線教師的現身說法，重點圍繞在數學思維與解題策略，內容極為豐富有用。至於在書寫風格上，作者則排除理論而直接訴諸實例，表現了樸拙的意義與價值。這是難得一見的一本中學數學學習指南，非常值得推薦。──師大數學系　洪萬生教授　　讀了任老師寫的這本書之後，相信你會發現數學一點都不困難，解題充滿樂趣，並且信心滿滿。──台大數學