微积分基本方法

出版时间：2010-3  出版社：南京大学  作者：袁相碗  页数：273  

前言

　　本人曾在大学从事过微积分学（高等数学）的教学工作和数学基础与数学方法论的研究工作。有鉴于当今的微积分学教育活动的实际情况，只仅仅注重于微积分学知识的传授和技能的培训，难以使受教育者了解微积分学孕育、创立、演变与发展的历史过程，以及以无穷小为核心概念的微积分基本方法在其中所起到的基础作用，所以一直希望在数学史和方法论的结合上，能撰写一本辅助性的读物，以弥补当今微积分学教育现状之不足。　　微积分学是研究变量与函数的微积分性质（连续性、可微性、可积性、收敛性等）及其运算法则的一个数学分支。它的基础是无穷小，本质上是以无穷小为中心概念的一种“算法”（称为“无穷小方法”）。微积分学的发展史表明：在数学外部的科学数学化和数学内部的矛盾运动的相互作用下，微积分理论是随着微积分基本方法（无穷小方法）的演变而进化的，而微积分基本方法的演变，又取决于数学上认识与处理无穷小这一概念的技巧。据此，《微积分基本方法》试图以微积分的发展史为依据，以数学如何认识与处理无穷小为主线，遵循数学史与方法论相结合的原则，系统地论述微积分基本方法（无穷小方法）的历史轨迹。其目的是：为从事微积分学教育活动的教师、学生和其他读者提供一本课外的读物。

内容概要

本书分12章，论述了微积分基本方法的源与流，其中有关数学史史料的选取以及有关数学家的贡献，都是围绕并服务于无穷小概念及其方法的这一主题需求的。     为适应学习微积分学和其他读者的需求，《微积分基本方法》采用文献综述的方式和通俗性的语言，不仅论述了当今微积分学教育中的实数域上的极限法的诞生过程，而且介绍了非标准数域上的以“单子结构”为中心概念的无穷小方法。

书籍目录

第1章  微积分基本方法引论  1．1  创立微积分的主要动因  1．2  微积分的创立  1．3  微积分的发展  1．4  微积分的基本方法第2章  初等几何学中的“穷竭法”  2．1  第一次数学危机  2．2  曲边形求积中的穷竭法  2．3  穷竭法是初等几何学中具有普遍性的数学方法第3章  几何形态的“不可分法”  3．1  穷竭法的拓展  3．2  卡瓦列利创立的“不可分法”  3．3  不可分法的改进与完善第4章  笛卡儿创立的“坐标几何法”  4．1  笛卡儿是“解析几何学”的主要创立者  4．2  笛卡儿创立“解析几何学”的主要动因  4．3  笛卡儿创立的“坐标几何法”  4．4  “坐标几何法”的意义第5章  代数形态的“微元法”  5．1  罗伯瓦尔和笛卡儿的求切线方法  5．2  费尔马创立的代数形态的“微元法”  5．3  巴罗的“微分(特征)三角形”及其求切线方法  5．4  瓦里斯的《无穷算术》第6章  牛顿创立的“流数术”  6．1  牛顿的“科学数学化”思想  6．2  牛顿创立的“流数术”  6．3  牛顿发现了求面积是求流数的逆过程  6．4  首创的逐项积分法  6．5  牛顿的“最初比和最后比”思想第7章  莱布尼茨创立的“无穷小算法”  7．1  从自然数列的“阶差”思想到无穷小算法  7．2  应用无穷小算法创立的微分学  7．3  应用无穷小算法创立的积分学  7．4  莱布尼茨的无穷小概念第8章  神秘的无穷小方法  8．1  流数术和无穷小算法本质上都是无穷小方法  8．2  无穷小悖论(第二次数学危机)的引发  8．3  消除无穷小悖论的尝试  8．4  无穷小悖论为极限方法的创立提供了动力与契机第9章  实数域R上的极限方法  9．1  波尔察诺的“承前启后”之贡献  9．2  柯西创立了极限方法  9．3  魏尔斯特拉斯进一步完善与发展了“极限论”第10章  极限方法的奠基(实数论的创立)  10．  戴德金用“分划法”创立了“实数论”  10．2  皮亚诺把实数理论建立在公理系统上  10．3  “实数论”为极限方法奠定了逻辑基础第11章  古典集合论的思想方法  11．1  康托尔的实无穷集合及其造集原则  11．2  应用一一对应原则引进“势”的概念  11．3  集合论观点下的实数集  11．4  超限基数与超限序数  11．5  集合论悖论(第三次数学危机)的引发第12章  非标准数域R上的“无穷小方法”  12．1  数理逻辑的兴起  12．2  应用“模型论”构建非标准实数模型R    12．3  R上的“单子结构”  12．4  R上的无穷小方法参考文献后记

章节摘录

　　1.3.3 在数理逻辑基础上创立的“非标准分析”　　极限论与实数论的创立以及微积分和数学分析严密化，是19世纪数学的重大成果之一。但是，建立在实数论与极限论基础上的微积分学：其一，将所研究的变量和函数定义局限在实数系的基础上；其二，否定或遗弃了莱布尼茨的实无穷观及其无穷小算法；其三，极限论（潜无穷观）是建立微积分理论体系的一种途径或技术，虽然它对建立微积分学的理论体系而言是正确而成功的，但是这并不意味着微积分发展的终结和对无穷小进行直接认识与研究的停止。　　首先，1873年，康托尔在研究实数系的深层次结构中，创立了“集合论”并明确宣称他采取“实无穷观”的立场。然后，在应用古典集合论的思想方法引进了非实数的超限基数与超限序数的新概念，在提出“康托尔定理”之中，发现了“超限数悖论”。　　其次，在康托尔发现“超限数悖论”之后，其他人也从集合论中引出了一系列悖论，尤其是著名哲学家与数学家罗素（Rus-sell，1872-1970）提出了著名的“罗素悖论”才引起整个学术界与数学界的震惊，并引发了数学史上的第三次危机。其结果，一是引发了学术界的有关数学基础的大辩论，形成了数学基础的逻辑主义、直觉主义和形式主义的三大学派。二是在数学分析集合论悖论的成因和排除集合论悖论的途径中，策梅洛（E.F.F.Zermelo，1871-1953）于1908年提出了第一个集合论的公理系统[后经弗郎克尔（AA.Fraenkel，1891-1965）改进，再加上选择公理，便是今日著名的ZFC系统]，并创立了“公理集合论”这一属于“数理逻辑学”的新分支，从而消除了集合论悖论。