高等代数（下册）

出版时间：2010-10  出版社：清华大学出版社  作者：丘维声  页数：670  字数：1002000  
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前言

高等代数是大学数学科学学院（或数学系，应用数学系）最主要的基础课程之一。本套教材是作者在北京大学进行高等代数课程建设和教学改革的成果，它具有下述鲜明特色。1.主线明确。以研究线性空间和多项式环的结构及其态射（线性映射，多项式环的通用性质）为主线。自从1832年伽罗瓦（Galois）利用一元高次方程的根的置换群给出了方程有求根公式的充分必要条件之后，代数学的研究对象发生了根本性的转变。研究各种代数系统的结构及其态射（即保持运算的映射）成为现代代数学研究的中心问题。20世纪，代数学研究结构及其态射的观点已经渗透到现代数学的各个分支中。因此，在高等代数课程的教学中贯穿研究线性空间和多项式环的结构及其态射这条主线，就是把握住了代数学的精髓。本套教材上册的第1，2，3章研究线性方程组的解法、解的情况的判别和解集的结构时，贯穿了研究数域K上n维向量空间K及其子空间的结构这条主线。线性方程组是数学中最基础、最有用的知识，咒维向量空间K是m维线性空间的一个具体模型，n元齐次线性方程组的解空间的维数公式本质上是线性映射的核与值域的维数公式。因此把线性方程组和n维向量空间K作为高等代数课程的开始部分的内容，既符合学生的认知规律，又是高等代数知识的内在规律的体现。上册的第4，5，6章研究矩阵的运算，矩阵的相抵、相似、合同关系及与它们有关的矩阵的特征值和特征向量、二次型。研究矩阵的运算为研究线性映射打下了基础。矩阵的相抵关系在解决有关矩阵的秩的问题中起着重要作用，而矩阵的秩本质上是相应的线性映射的值域的维数。研究矩阵的相似标准形本质上是研究线性变换在一个合适的基下的矩阵具有最简单的形式。研究对称矩阵的合同标准形与研究二次型的化简密切相关，而二次型与线性空间V上的双线性函数有密切联系。

内容概要

本套书作为大学“高等代数”课程的创新教材，是国家级优秀教学团队(北京大学基础数学教学团队)课程建设的组成部分，是国家级教学名师多年来进行高等代数课程建设和教学改革的成果。    本套书以讲述线性空间和多项式环的结构及其态射为主线，遵循高等代数知识的内在规律和学生的认知规律安排内容体系，按照数学思维方式编写，着重培养数学思维能力。上册内容包括：线性方程组，行列式，n维向空间Kn，矩阵的运算，欧几里得空间Rn，矩阵的相抵、相似，以及矩阵的合同与二次型。下册内容包括：多项式环，线性空间，线性映射，具有度量的线性空间(欧几里得空间、酉空间、正交空间和辛空间)，环、域和群的概念及重要例子，多重线性代数。    书中每节均包括内容精华、典型例题、习题，章末有补充题(除第11章外)，还特别设置了“应用小天地”板块。本书内容丰富、全面、深刻，阐述清晰、详尽、严谨，可以帮助读者在高等代数理论上和科学思维能力上都达到相当的高度。本书适合用作综合大学、高等师范院校和理工科大学的“高等代数”课程的教材，还可作为“高等代数”或“线性代数”课程的教学参考书，也是数学教师和科研工作者高质量的参考书。

作者简介

丘维声，北京大学数学科学学院教授，博士生导师，所授的“高等代数及习题”课程被评为北京大学优秀主干基础课。 
    所获奖励： 
    荣获全国首届国家级教学名师奖、宝钢教育奖全国优秀教师特等奖、北京市普通高等学校教学成果一等奖，被评为北京市科学技术先进工作者、

书籍目录

第7章  多项式环  7．1  一元多项式环    7．1．1  内容精华    7．1．2  典型例题    习题7．1   7．2  整除关系，带余除法     7．2．1  内容精华    7．2．2  典型例题    习题7．2   7．3  最大公因式     7．3．1  内容精华    7．3．2  典型例题    习题7．3    7．4  不可约多项式，唯一因式分解定理     7．4．1  内容精华    7．4．2  典型例题    习题7．4   7．5  重因式     7．5．1  内容精华    7．5．2  典型例题    习题7．5   7．6  多项式的根，复数域上的不可约多项式     7．6．1  内容精华    7．6．2  典型例题    习题7．6   7．7  实数域上的不可约多项式?实系数多项式的实根     7．7．1  内容精华    7．7．2  典型例题    习题7．7   7．8  有理数域上的不可约多项式     7．8．1  内容精华    7．8．2  典型例题    习题7．8   7．9  多元多项式环     7．9．1  内容精华    7．9．2  典型例题    习题7．9   7．10  对称多项式    7．10．1  内容精华     7．10．2  典型例题    习题7．10   7．11  结式     7．11．1  内容精华    7．11．2  典型例题    习题7．11   7．12  域与域上的一元多项式环     7．12．1  内容精华    7．12．2  典型例题    习题7．12   补充题七  应用小天地：序列密码?m序列第8章  线性空间  8．1  域F上线性空间的基与维数    8．1．1  内容精华     8．1．2  典型例题     习题8．1  8．2  子空间及其交与和，子空间的直和    8．2．1  内容精华     8．2．2  典型例题     习题8．2  8．3  域F上线性空间的同构    8．3．1  内容精华     8．3．2  典型例题     习题8．3  8．4  商空间    8．4．1  内容精华     8．4．2  典型例题     习题8．4  补充题八  应用小天地：线性码第9章  线性映射  9．1  线性映射及其运算    9．1．1  内容精华     9．1．2  典型例题     习题9．1   9．2  线性映射的核与象    9．2．1  内容精华     9．2．2  典型例题     习题9．2   9．3  线性映射和线性变换的矩阵表示    9．3．1  内容精华     9．3．2  典型例题     习题9．3   9．4  线性变换的特征值和特征向量，线性变换可对角化的条件    9．4．1  内容精华     9．4．2  典型例题     习题9．4   9．5  线性变换的不变子空间，Hamilton-Cayley定理    9．5．1  内容精华     9．5．2  典型例题     习题9．5  9．6  线性变换和矩阵的最小多项式    9．6．1  内容精华     9．6．2  典型例题     习题9．6  9．7  幂零变换的Jordan标准形    9．7．1  内容精华     9．7．2  典型例题     习题9．7   9．8  线性变换的Jordan标准形    9．8．1  内容精华    9．8．2  典型例题    习题9．8   9．9  线性变换的有理标准形    9．9．1  内容精华    9．9．2  典型例题    习题9．9   9．10  线性函数与对偶空间    9．10．1  内容精华     9．10．2  典型例题    习题9．10  补充题九  应用小天地：可交换的线性变换第10章  具有度量的线性空间  10．1  双线性函数    10．1．1  内容精华    10．1．2  典型例题    习题10．1   10．2  欧几里得空间     10．2．1  内容精华    10．2．2  典型例题    习题10．2   10．3  正交补，正交投影     10．3．1  内容精华    10．3．2  典型例题    习题10．3   10．4  正交变换与对称变换     10．4．1  内容精华    10．4．2  典型例题    习题10．4   10．5  酉空间，酉变换，Hermite变换，正规变换    10．5．1  内容精华    10．5．2  典型例题    习题10．5   10．6  正交空间与辛空间    10．6．1  内容精华    10．6．2  典型例题    习题10．6   10．7  正交群，酉群，辛群     10．7．1  内容精华    10．7．2  典型例题    习题10．7   补充题十  应用小天地：酉空间在量子力学中的应用 第11章  多重线性代数   11．1  多重线性映射     11．1．1  内容精华    11．1．2  典型例题  11．2  线性空间的张量积     11．2．1  内容精华    11．2．2  典型例题  11．3  张量代数     11．3．1  内容精华    11．3．2  典型例题  11．4  外代数     11．4．1  内容精华    11．4．2  典型例题  应用小天地：张量积在量子隐形传态中的应用 习题答案与提示    第7章  多项式环    第8章  线性空间    第9章  线性映射    第10章  具有度量的线性空间 参考文献

章节摘录

插图：我们在中学时就知道列方程和解方程对于解决实际问题很有用，而解一元高次方程f（x）=O就是求一元多项式f（x）的根，于是求一元多项式的根便成为古典代数学研究的中心问题。求一元多项式的根的基本思路是把一元多项式因式分解，为此需要研究一元多项式组成的集合的结构。本章就来研究这个问题。一元多项式诱导的多项式函数是初等函数中最简单的一种，因此在数学分析中，常用多项式函数逼近一般的n阶可微函数。在具有加法和乘法运算的数学对象中，除了整数以外，一元多项式的形式最简洁、运算最简捷，因此成为基础的数学对象。通过研究一元多项式的运算性质，可以得到其他具有加法和乘法运算的数学对象的相应性质，即所谓的一元多项式的通用性质。在当今信息时代，多项式在计算机科学、现代通信、编码和密码等许多领域都有应用。本章以研究数域K上一元多项式环的结构和通用性质为主线。此外，还将介绍n元多项式环的结构。

编辑推荐

《高等代数(下册):大学高等代数课程创新教材》作为大学高等代数课程创新教材，是作者从事教学、科研工作40年的经验和心得的结晶，也是作者在北京大学进行高等代数课程建设和教学改革的成果。本套教材特色主线明确。以研究线性空间和多项式环的结构及其态射（线性映射、多项式环的通用性质）为主线，把握住了现代代数学的精髓。内容全面。包括线性代数，多项式环，环、域和群的概念及重要例子，多重线性代数，共四大部分。理论深刻。阐述和证明了许多重要结论，其中包括一些研究性课题成果。创新亮点。阐述了多项式环的通用性质，运用一元多项式环的通用性质和线性变换的最小多项式彻底解决了线性变换的标准形问题，并研究了其他重要问题。强调思维。按照数学思维方式编写，着重培养数学思维能力，让同学们在掌握高等代数知识的同时受到数学思维方式的训练，得以终身受益。体例新颖。每节均设有“内容精华”、“典型例题”专栏，许多例题是内容精华中理论的延伸，通过例题解析，给同学们呈现如何解题的范例，帮助同学们提高分析问题和解决问题的能力；每章还特别设置“应用小天地”板块，阐述高等代数知识在实际问题中的应用，有利于同学们开阔眼界，增强学习的兴趣。可读性强。阐述清晰、详尽、严谨，对于后文要用到的结论，前面章节均作了铺垫，环环相扣，层层深入，顺理成章。全国首届高等学校国家级教学名师倾力打造内容精华：重基础，讲想法，理论深刻典型例题：例题多，题型广，分析透彻应用小天地：提升能力，开拓视野用心阅读此书，有助于您在高等代数理论上和科学思维能力上都达到相当的高度！

用户评论 (总计56条)

•   向丘教授致敬，这是我见过的国内最好的高代教材。
  什么王萼芳石生明姚暮生的都弱爆了
  下册还有很多有意思的小应用，涵盖很广啊，
  理科，尤其是数学系的筒子们切勿错过~
•   对学数学很有帮助
•   上学期用了上册，这学期用下册。真的写得非常详细【所以也才这么厚吧。。。】
•   确实是我看到过的内容最详实的一部高代教材了，没有老师讲也完全可以学好。厚厚的两大本，包罗万象。
•   丘维声的书写的很全，买来自己研究用，书很新，很满意
•   速度快，内容丰富，是一本不错的高代课本
•   丘维声的书写的挺好的一定要好好看！
•   很好很详细很好很详细内容丰富
•   看序言，似乎书里涉及的内容很深
•   很好的一套书，相关专业值得学习
•   书的质量非常好，快递相当给力，赞一个！！！！！
•   非常不错的一本书，例题很多，很丰富！
•   蛮好的，在当当买书很久了，教材小说基本都会在当当拿，正版有保证，实话还蛮便宜的~
•   比想象中的好多了，应该算是中国人写的最好的教材了吧
•   写的不错，感觉是比较经典的教材了啊！~
•   经典教材，实用
•   循序渐进，是自学的好教材。
•   作为教师用书还行
•   很好的书，印刷质量也不错
•   本册更具体 更全面 我喜欢
•   丘爷爷的书，值得信赖~
  这本书讲得巨详细，就是厚了点~
  耐心看就会有很大收获的。O(∩_∩)O~
•   同学们好好学高代啊
•   书不错哈～～物流也不错～～
•   邱老师的书，想必不用多赘述什么了吧~~
•   很不错的书，但是写的有点冗长
•   帮别人买的，没意见，看起来不错，实用
•   看不懂，不过还满意
•   还没看 不过没有瑕疵
•   帮老师买的，应该很不错的！
•   可以买来看看他哦还不错
•   我们老师极力推荐。
•   写得确实很好
•   It is a thick book.
•   全部一次评论
•   真心希望自己可以读完它
•   北大丘维声写的高等代数教材，很经典
•   没有预期的那么好，就是厚一些，贵一些。还不如北大第三版高等代数，当然下册书有很多其他代数数介绍的相对较少的东西。更接近于抽象代数或近世代数
•   书很好 绝对正版
•   丘爷爷的大黄砖 给跪
•   有基础知识总结，还是不错的，不过上面的题我觉得偏简单一些吧，也比较偏向计算，比我们课本上的题要简单
•   在活动期间买的 都快一个月了 还没有交易成功 到底有没有活动啊
•   就那样而已
•   1.北大这些年出版的高等代数教材，我大概都粗略读过。在这套书出版以前，当属丘维声96版《高等代数》和蓝以中《高等代数简明教程》为最好。其中丘维声96版《高等代数》包含的内容比较多，结论也很深刻，但是后来2002年出的第二版精简了不少内容，但仍不失为好书，因为第一版的内容实在太多，做教材有些不太合适。后来丘先生先后出版了配套的学习指导书，里面有不少补充内容和习题，的确问哦国内难得的精品好书，建议数学系的学生多看看。2.再说现在这本最新的《高等代数》教材，上下二册约1100页A4版面，内容十分丰富，我粗略看过，只能说是我见过的国内目前最全面、内容最深刻的高等代数书，相比96年第一版，还增加了“多重线性代数”一章，而且每章的内容精华部分，详细阐述了许多深刻的理论，不但包含了96第一版的绝大部分内容，而且还有所扩充，特别是例题部分非常精彩，该套书正如作者在序言中介绍的一样，理论非常深刻，达到相当的高度。3.但是我个人认为这套书和配套的学习指导书作为“参考书”比较合适，做教材太深了，而且内容太多，不容易抓住重点。4.当然国内高等代数的好书还有不少，例如许以超先生的《线性代数与矩阵论》，该书的矩阵部分很深，可供参考，但是似乎过于重视“矩阵技巧”，还有李尚志的《线性代数》也不错。
•   很好，给女朋友买的，很实用。
•   努力！加油！哈佛！北大！
•   老师推荐的，自己也很喜欢，很好懂，不觉得很吃力
•   书还不错的 外表还好 期待里面
•   通顺易懂，又有深度。
•   逻辑思维严谨，重视思想却又不忽视应用，习题大多经典，是不本不错的书。
•   书很好,更适合学过一遍的人.本人最喜欢2003年版
•   国内最好的高代教材，没有之一
•   难得的好书 内容丰富充实
•   不愧是丘前辈，还是很厉害啊。
•   非常好的高代书
•   特别好的高等代数下册
•   一般人肯定不买这书..