微分拓扑

出版时间：2008 年11月  出版社：清华大学出版社  作者：徐森林;胡自胜;薛春华  页数：314  
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前言

微分拓扑学是研究微分流形在微分同胚下保持不变的各种性质的学科。它的最初思想归于H。Poincaré，当时他所谓的拓扑学就是现在的微分拓扑学这一分支。由于H。Whitney，S。S。Cairns，J。H。C。Whitehead等的工作，微分拓扑学理论在20世纪30年代取得了迅速的发展。接着，在J。Milnor,R。Thom，S。Smale和M。Kervaire等著名数学家的努力下，又有了新的进展。一方面，有新理论的创立，如Milnor的微观丛理论、Thom的配边理论等；另一方面，一些看来高不可攀的著名古典问题得到了解决。例如，球面可以具有许多不同的微分构造，而且在许多场合，我们能够计算它们的种数（MilnorSmale）。Milnor于1956年发表了一篇论文，给出了一个与7维标准球面同胚但不微分同胚的微分流形（Milnor怪球，参阅文献［10］）时，引起了人们巨大的惊讶。更进一步，Kervaire和Milnor于1962年证明了S7上共有28种不微分同胚的微分构造（参阅文献［8］）；M。Kervaire于1960年证明了有这样的拓扑流形，它根本没有微分构造（参阅文献［7］）；HauptVermutung的主要猜测已被否定（MazurMilnor），等等。本书第1章1。1节和1。2节是预备知识。介绍了Cr微分流形、Cr映射、Cr单位分解、向量丛、切丛、张量丛、外形式丛、外微分形式的积分以及著名的Stokes定理。为了刻画映射的逼近，描述映射和流形的光滑化，1。3节和1。4节引进了弱与强Cr拓扑（CrW(M,N)和CrS(M,N)）。1。5节和1。6节关于映射和流形的光滑化定理以及扰动定理，使这一章的许多结果，若对C∞流形和C∞映射成立，实际上它在Cr流形和Cr映射（r≥1）时也成立。第2章证明了著名的MorseSard定理，并应用Sard定理证明了Whitney嵌入定理、Thom横截性定理。3。1节应用Grassmann流形证明了管状邻域定理。3。2节在Cr定向（不可定向）流形上引进了Cr映射的Brouwer度（模2度），并证明了Brouwer度（模2度）的同伦不变性。给出了Brouwer度（模2度）的许多应用的实例。此外，还证明了Hopf分类定理。4。1节证明了Morse引理和PoincaréHopf指数定理。4。2节反复应用Morse引理，用临界值刻画了Ma={p∈M|f(p)≤a}的同伦型。从而论证了C∞流形具有CW复形的同伦型。最后，还讨论了Morse不等式。5。1节引进了de Rham上同调群，给出了大量C∞流形的de Rham上同调群的具体例子。论述了de Rham上同调群的MayerVietoris序列。并应用它计算了Sm的de Rham上同调群。5。2节给出了整奇异同调群和实奇异上同调群；还给出了整小奇异同调群和实小奇异上同调群。5。3节借助系数在预层中的上同调理论，建立了著名的de Rham同构定理。微分拓扑是20世纪发展起来的近代数学的重要一支。许多著名数学家在这个方向上作出了杰出的贡献。以上诸定理的结果和论证方法不仅有很重要的理论价值，而且也有很重要的应用价值。它对微分几何、微分方程和其他数学分支以及理论物理等产生了深远的影响。此外，对于想从事与近代数学有关的研究的人员就必须精通微分拓扑的知识和方法。没有这些，就难以进入20世纪后的数学研究领域。此书能顺利完成，完全应该归功于20世纪60年代教导我们的老师吴文俊教授和李培信教授，没有他们的精心培育就没有今天这本《微分拓扑》的出版。全书内容在中国科学技术大学数学系研究生和高年级优秀大学生中共讲授8届。每届训练两学期，使学生的数学修养和独立研究能力都有很大提高。其中有6位研究生在全国研究生暑期训练班中获奖。特别是1998年在南京大学举办的研究生暑期训练班中，几何拓扑方向获第一名、第二名的是徐森林教授的学生梅加强、倪轶龙。2003年在山东威海举办的研究生训练班中，微分拓扑、近代微分几何两门课第一名的还是徐森林教授的一位学生。经一系列近代数学课程的讲授、训练使中国科学技术大学出了一批有能力、有成就的年轻数学家。感谢中国科学技术大学数学系领导与老师的支持。感谢清华大学出版社刘颖编辑真诚的帮助和热心的鼓励。

内容概要

　　本书主要介绍微分拓扑中的一些重要定理：映射的逼近定理、映射和流形的光滑化定理；Morse—sard定理、Whitney嵌入定理、Thorn横截性定理；管状邻域定理、Brouwer度的同伦不变性定理、Hopf分类定理；Morse理论、用临界值刻画流形的同伦型和Morse不等式以及Poincare-Hopf指数定理；de Rham同构定理，这些定理和方法在微分拓扑、微分几何、微分方程和理论物理等学科中都有广泛的应用。无疑，阅读本书可使读者具有良好的近代数学修养并能增强独立研究的能力。　　本书可作为理科大学数学系和本科生、研究生几何、拓扑的教科书或物理系研究生相关课程的教科书和自学参考书。

作者简介

徐森林，华中师范大学数学与统计学学院教授，1941年12月12日出生于江苏省吴县，1960年毕业于江省苏州中学。同年进入中国科学技术大学数学系学习，1965年毕业于中国科学技术大学数学系几何拓专业，导师是著名数学家吴文俊教授，并留校工作。1985年为副教授，1990年晋升教授，1993年受聘为博士生导师，1982年-1984年到美国Princeton大学作访问学者。1988年6月到12月到意大利ICTP作访问教授。1995年1月-3月到美国Purdue大学合作研究。2002年经几位院士推荐，被华中师范大学特聘为该校教授、博士生导师，目前在教学科研方面发挥着积极的作用。1989年聘为美国《数学评论》（Math.Rev.）评论员。1990年-1995年和1995年-2000年分别聘为首届和第二届《国家教委数学与力学教学指导委员会》委员，享受国务院特殊津贴，名字列入《世界数学家名录》。研究方向为几何拓扑、分析和计算复杂性理论。多次主持国家自然科学基金项目、中科院基金项目、意大利第三世界科学基金项目的研究工作。已在国内外重要杂志上发表了有关子流形几何、极小子流形、谱理论及拓扑不变量的论文近90篇，出版著作9本，其中与他人合写的《数学分析》于1986年获国家教委优秀教材二等奖。因教学突出，79年获中国科技大学教学特等奖，2000年获宝钢教学奖，研究工作已达到国内先进，部分国际先进水平，并进入国内同行研究的前沿，曾得到著名数学家吴文俊、Smale、Kuhn、Verjevsky等人的赞赏。教学方面，主讲过本科生和研究生的主要学位课程16门，有一整套培养训练学生的方法。因材施教，效果突出，成绩显著。培养了如李岩岩、舒其望、沙际平、左康、王伟强、周坚等著名年轻数学家。在不拘一格选拔人才方面，曾将只有初中毕业，自学成材的肖刚推荐到中科大读研究生。之后肖刚赴法国深造，对数学有突出贡献，获陈省身奖。与薛春华合编的《数学分析》，书中配备大量典型实例，习题分练习题、思考题与复习题三个层次，在深入挖掘传播精髓内容的同时，做到与后续课程内容的密切结合，使内容具有近代数学的气息。另外，从讲述和训练两个层面来体现因材施教的教学理念，受到广泛的好评。

书籍目录

第1章　映射空间Cr(M,N)的强Cr拓扑下映射的逼近与光滑化、流形的光滑化1.1 微分流形、微分映射、单位分解1.2 切丛、张量丛、外形式丛、外微分形式的积分、Stokes定理1.3 映射空间Cr（M,N）上的弱与强Cr拓扑1.4 映射空间C∞（M,N）上的弱与强C∞拓扑1.5 映射的逼近1.6 映射的光滑化与流形的光滑化第2章　Morse Sard定理、Whitney嵌入定理和Thom横截性定理2.1 Morse Sard定理2.2 Whitney嵌入定理2.3 Thom横截性定理第3章　管状邻域定理、Brouwer度与Hopf分类定理3.1 Grassmann流形与管状邻域定理3.2 连续映射的Brouwer度3.3 Hopf分类定理第4章　Morse理论、Poincaré Hopf指数定理4.1 Morse引理与Poincaré Hopf指数定理4.2 用临界值刻画流形的同伦型4.3 Morse不等式第5章　deRham同构定理5.1 deRham上同调群5.2 整奇异同调群和实奇异上同调群5.3 deRham同构定理参考文献

章节摘录

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《微分拓扑》可作为理科大学数学系和本科生、研究生几何、拓扑的教科书或物理系研究生相关课程的教科书和自学参考书。