高等代数方法与技巧

出版时间：2012-4  出版社：山东人民出版社  作者：姜同松  页数：373  字数：500000  

内容概要

　　《高等代数方法与技巧》通过高等代数的知识点及近年来研究生入学试题进行分析和研究，把高等代数的解题方法归纳为50类，以此帮助读者进一步理解和把握高等代数的思想内涵，掌握并学会高等代数的证题方法和技巧。
本书作为临沂大学优秀校本教材，经学校立项并由山东人民出版社正式出版发行。本书既可作为大学数学专业高等代数后继课程的教材、作为数学专业研究生考试的辅导教材，也可作为理工科各专业讲授线性代数教学和学生自学的辅导参考书。

书籍目录

君子务本，本立而道生——《临沂大学优秀校本教材》总序韩延明
前言
第一章 行列式
 1．1 行列式定义的方法l
 1．2 行列式性质的方法
 1．3 行列式乘积的方法
 1．4 行列式降阶的方法
 1．5 矩阵积与和的行列式的方法
第二章 矩阵
 2．1 矩阵定义及其运算的方法
 2．2 可逆矩阵与伴随矩阵的方法
 2．3 标准单位向量的方法
 2．4 矩阵分块的方法
 2．5 初等变换与初等矩阵的方法
 2．6 矩阵特征根的方法
 2．7 降阶与升阶的方法
 2．8 齐次线性方程组的方法
 2．9 构造连续函数的方法
 2．10 可交换矩阵的方法
 2．11 矩阵若当标准形的方法
第三章 特殊矩阵
 3．1 准对角矩阵的方法
 3．2 k对称矩阵的方法
 3．3 k正交矩阵的方法
 3．4 正规矩阵的方法
 3．5 多项式零化矩阵的方法
 3．6 正定矩阵的方法
第四章 线性方程组
 4．1 线性方程组有解的判定方法
 4．2 线性方程组的向量方法
 4．3 线性方程组的克莱姆方法
 4．4 齐次线性方程组基础解系的方法
 4．5 线性方程组解结构的方法
 4．6 线性方程AXB=C解结构的方法
第五章 多项式
 5．1 多项式的整除性方法
 5．2 多项式的最大公因式方法
 5．3 不可约多项式的方法
 5．4 多项式函数与多项式根的方法
第六章 向量空间
 6．1 向量空间定义的方法
 6．2 向量线性关系的方法
 6．3 基、维数和坐标的方法
 6．4 子空间的交与和的方法
 6．5 向量空间同构的方法
第七章 线性变换
 7．1 线性变换定义及运算的方法
 7．2 线性变换与矩阵的方法
 7．3 求解线性变换特征根与特征向量的方法
 7．4 线性变换与矩阵对角化的方法
 7．5 线性变换不变子空间的方法
第八章 欧氏空间
 8．1 欧氏空间定义的方法
 8．2 欧氏空间正交向量组的方法
 8．3 正交变换与正交矩阵的方法
 8．4 对称变换与对称矩阵的方法
第九章 二次型
 9．1 二次型定义的方法
 9．2 二次型标准形的方法242
 9．3 正定二次型的方法
 9．4 Hermite型与Hermite矩阵的方法
习题解答与提示
主要参考文献

章节摘录

版权页：   插图：   3.典型例题 例1 设A是m×n矩阵，对任意n维列向量X都有AX=0。证明：A=0。 证明 令A=（α1，α2，…，αn），取X=εi，i=1，2，…，n，于是有 α=Aεi=0，i=1，2，…，n。 所以A=0。 或证 A=AIn=A（ε1，ε2，…，εn）=（Aε1，Aε2，…，Aεn）=0。 例2 设A是一个n阶矩阵，证明：A是实反对称矩阵（即AT=—A）当且仅当对任意n维列向量X都有XTAX=0。 证明 取X=εi，i=1，2，…，n，有aii=εTiAεi=0。 取X=εi+εj，则 XTAX=（εTi+εTj）A（εi+εj） =aii+aij+aji+ajj =aij+aji=0。 即aij=—aji，所以AT=—A。 反之，若AT=—A，则对任意列向量X，XTAX是一个数，于是有XTAX=XT（—A）TX=—（XTAX）T=—XTAX，所以XTAX=0。 例3 设A是一个n阶整数矩阵。证明：对任意整数列向量β，AX=β都有整数解当且仅当|A|=±1。 证明 若|A|=±1，则A可逆，且对任意整数列向量β，显然X=A—1β=1/|A|A*β=±A—β是AX=β的整数解。 反之，取β=εi，i=1，2，…，n，Xi是AX=εi的整数解。令B=（X1，X2，…，Xn），于是有 AB=（AX1，AX2，…，AXn）=（ε1，ε2，…，εn）=In。 故A可逆，且|A||B|=1，又因为矩阵A，B都是整数矩阵，所以|A|=±1。 例4 设A是一个m×n矩阵。证明：对任意m维列向量β，AX=β都有解当且仅当rank（A）=m。 证明 若对任意m维列向量β，AX=β都有解，取β=εi，=1，2，…，m，且Xi是AX=εi的解。令B=（X1，X2，…，Xm），于是有 AB=A（X1，X2，…，Xm）=（ε1，ε2，…，εm）=Im。 rank（A）≥rank（AB）=rank（Im）=m。 又因为rank（A）≤m，所以rank（A）=m。 反之，若rank（A）=m，则存在可逆矩阵P，Q满足PAQ=（Im，0），于是有 A=P—1（Im，0）Q—1=（P—1，0）Q—1。 令B=Q（P0），则AB=Im。于是，对任意m维列向量β，有ABβ=β，即X=Bβ是方程AX=β的一个解。

用户评论 (总计3条)

•   题目太好了，考研题也很多，考研的好教材啊。
•   书挺大 字挺密方法不少 价钱公道
•   很有用的哦~非常非常喜欢呢