小平邦彦复分析

出版时间：2008-6  出版社：人民邮电出版社  作者：小平邦彦  页数：404  
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内容概要

本书讲述了复变函数的经典理论。作者用易于理解的方式严密介绍基础理论，强调几何观点，避免了一些拓扑学难点。书中首先从拓扑上较简单的情形论证了柯西积分公式，并引出连续可微函数的基本性质。然后阐述共形映射、解析延拓、黎曼映射定理、黎曼面及其结构，以及闭黎曼面上的解析函数等。书中包含大量的图示和丰富的例子，并附有习题，可以帮助读者增强对课程的理解。 本书可作为高等院校理工科专业复分析的入门教材，也可作为更高级学习研究的参考书

作者简介

小平邦彦，20世纪日本最伟大的数学家之一，他是迄今为止为数不多的既获得菲尔兹奖(1954年)、又获得沃尔夫奖(1985年)的数学家。1957年被日本政府授予文化勋章。他是日本学士院院士、美国科学院和德国哥廷根科学院外籍院士。先后在美国普林斯顿高等研究中心、哈佛大学、约翰?霍普金斯大学、斯坦福大学、日本东京大学等任教授。他在调和积分理论、代数几何学和复解析几何学等诸多领域做出了卓越的贡献，著作有《微积分入门》(卷Ⅰ和卷Ⅱ)、《复分析》、《复流形理论》等。

书籍目录

1  Holomorphic functions　1.1  Holomorphic functions　1.2  Power series　1.3  Integrals　1.4  Properties ofholomorphic functions　2  Cauchy's Theorem　2.1  Piecewise smooth curves　2.2  Cellular decomposition　2.3  Cauchy's Theorem　2.4  Differentiability and homology　3  Conformal mappings　3.1  Conformal mappings　3.2  The Riemann sphere　3.3  Linear fractional transformations　4  Analytic continuation　4.1  Analytic continuation　4.2  Analytic continuation along curves　4.3  Analytic continuation by integrals　4.4  Cauchy's Theorem (continued)　5  Riemann's Mapping Theorem　5.1  Riemann's Mapping Theorem　5.2  Correspondence of boundaries　5.3  The principle of reflection　6  Riemann surfaces　6.1  Differential forms　6.2  Riemann surfaces　6.3  Differential forms on a Riemann surface　6.4  Dirichlet's Principle　7  The structure of Riemann surfaces　7.1  Planar Riemann surfaces　7.2  Compact Riemann surfaces　8  Analytic functions on a closed Riemann surface　8.1  Abelian differentials of the first kind　8.2  Abelian differentials of the second and third kind　8.3  The Riemann-Roch Theorem　8.4  Abel's Theorem　Problems　Index　

编辑推荐

《小平邦彦复分析(英文版)》可作为高等院校理工科专业复分析的入门教材，也可作为更高级学习研究的参考书。 《小平邦彦复分析(英文版)》出自菲尔兹奖和沃尔夫奖双奖得主，日本最伟大的数学家之一小平邦彦之手，图文并茂，强调理论的几何直觉。例题和习题(附有解答)都非常丰富，是一本经典的复分析著作，既可以作为课堂教材，也可以供研究参考。

用户评论 (总计21条)

•   不愧小平邦彦,真是复分析几何大事,比学校的复分析要好太多.
•   数学大师之笔
•   结合复变一起看对初学者来说不错
•   英文不好，看不大懂。
•   这本书包含经典的复分析，而且几何性强，言简意赅，语言流畅自然，迅速进入复分析的主题，一本理想的书。最爱数学书之一。不过，有关椭圆函数并无介绍，而且印刷错误较多
•   深入浅出，处理上很几何化，最重要的是最后还证明了黎曼面上的RR定理.
•   感觉人民邮电出版社搞得这套书的英文版还算靠谱。内容还没看，但明显几何性强。
•   形变理论创始人写的入门书,复变量微积分.
•   很好的基础入门书，就是太厚了。
•   　　博尔赫斯曾经(大逆不道地)怀疑过所有经典文学作品的“永恒性”。在我看来，在数学中实践这种怀疑主义所要冒的风险要小得多。这是一门研究客观对象的学问（我无意卷入哲学上的争论，例如“理念”是否真实存在，数学家“发现”还是“发明”定理等等：“实践者”或多或少总能达成共识，而与“旁观者”争论是没意义的)，认识总在进步。如果说有人站在巨人的肩膀上以至于觉得巨人并不高大，他大可不必为此感到羞愧。何况据说小平先生还没有他的夫人高呢。
  　　
  　　经典的复分析理论是由3位风格各异的大师奠定的：Cauchy的积分表示观点，Weierstrass的幂级数表示观点和Riemann的复几何观点。近代恰好也有3位大师写过复分析的入门书：Ahlfors、H.Cartan以及小平邦彦。诚然，一本近代教材不可能只局限于介绍某种观点，甚至3种经典观点本身也无法截然分开，然而我们还是不难发现某种对应：
  　　
  　　Ahlfors《复分析》最精彩的部分在于提供了一个从拓扑角度看完全清晰而现代的Cauchy积分定理。他毫不掩饰自己的分析学家趣味，自得其乐地(当然同时也让读者受益无穷)讨论着函数的各种表示，函数空间内的收敛性，椭圆函数论以及超几何函数论。这些论题覆盖了经典函数论的绝大部分内容，又出之以现代观点，使得此书在数十年间一直保持着第一参考书的地位。这是3本书中我读得最早也最钟爱的一本，虽然我并不强求它是完美的：在不引入Riemann面的情况下引入层论是相当勉强的，除了让叙述稍显“摩登”之外没有什么意义。
  　　
  　　Cartan的《解析函数论》则处于一种尴尬的境地。他试图把Weierstrass观点摆到图像的中心，但这里有一个天然的(？)的限制：从积分表示构造幂级数表示要比从幂级数表示构造积分表示自然得多。因而他不得不在两种观点间来回跳跃，远不如Ahlfors宏大而一致。当然他的牺牲也获得了某种回报：Weierstrass观点可以毫不费力地推广到多变元(Cauchy的大部分函数论定理也仍然正确；高维的困难之处本质上是几何的)。
  　　
  　　小平讨论了Riemann面，讨论了调和函数和“臭名昭著”的Dirichlet原理，讨论了Abel积分，也讨论了Riemann-Roch定理——他的这本著作几乎可以用来为Riemann招魂。这个膜拜Riemann的教派大概是由Klein创始的，一传到Weyl，再传到小平。然而从Riemann到小平已将近一个世纪，这种“复古”的风气难免显得有些怪异：在讨论全纯/亚纯形式的时候，小平偏要说Abel微分并把它分为一二三类；椭圆算子的正则性以及Hodge理论原本是他的拿手好戏，他却宁愿踩着Weyl引理-Dirichlet原理这条窄道小心前行：多么讽刺啊，以Hodge理论名震天下的小平邦彦，在写书的时候竟然连Hodge的名字都不敢提！这种“爱护”对学生有何好处呢？如果小平自己都莫名其妙地不置一词，初学者又怎么知道引理8.1和定理8.1在高维妙用无穷呢？
  　　
  　　当然，有人会说：这个特例已很有代表性(在证明了RR定理的情况下尤其如此)，何必用一般性去困扰学生呢？但我意不在此。我所惋惜的是这个例子明明可以把学生引导到当时的前沿领域，引向一些激动人心的进展，作为向导的小平却宁愿带着一帮人回头走向Riemann：这是何必、何苦？
  　　
  　　我知道一些数学家有所谓“经典情结”。Weil就是典型的例子。总有人以他读Gauss全集“读”出了Weil猜想为例宣传挖掘经典的必要性，伍鸿熙先生甚至在介绍现代Riemann几何的书里鼓励年轻人去念Gauss、Riemann和Poincare。在我看来这是一种纯粹的误导：一方面，重新拾起那些被现代数学消化了的概念毫无必要；另一方面，在经典作品里找到遗珠并非不可能，但因此鼓励初学者去撞运气则是荒唐的，我也绝不相信伍先生自己的论文是这样写出来的。
  　　
  　　曾有人问丘成桐先生学微分几何要读什么书。丘先生明确地表示Spivak并不合适：“他自己不是搞几何的专家。”说得明白一些，“历史趣味”对于研究至多是锦上添花，读丘成桐比读Gauss要有效得多：至于那些喜欢拿“谁更伟大”说事的人，他们自己往往什么都搞不出来。
  　　
  　　从这个意义上来说，小平的书是一本好书：它好在内核是新的，用现代的观点处理了Riemann留下的一些古典论题(而并不是好在“小平先生是人人景仰的大师”这些不着边际的话)。但它又是一本太过保守的书，并不能把没有经验的读者带到更远处——很可能要等到他们念Griffiths-Harris的时候才能明白：“哦，原来这里是重要的。哦，原来小平先生处理问题的手法是受这些现代观点影响。哦，原来小平先生并不是踏雪无痕，而是过分小心地把自己思想的脚印一一擦掉了。”
  　　
  　　哦，多么遗憾。
•   数学很差的人，留下一个有用飘过~
•   Ahlfors和Kodaira是有联系的，尤其是他的Coveing surface theory，简直就是Riemann mapping这种几何精神的伟大传承。Kodaira是用分析做代数几何，Ahlfors是用几何解释分析，由于Riemann-Roch可以看成Nevanlinna theory的代数类比，Ahlfors和Kodaira就有交点。Ahlfors在30年代就知道几何对分析的重要，当时整个复分析还处于幼稚之中，甚至根本不去思考Picard定理中为什么会允许2个例外点···从这个意义上说，Ahlfors真是划时代的人物，他的贡献在今天被低估了。
•   @煙花不堪剪 N理论你比我熟。但RR与它的关系似乎相当微妙：虽然Kodaira确实用了Hodge理论，但从Serre-Grothendieck的观点看，RR其实和几何结构没太大关系。反过来说N理论在高维本质地依赖于负曲率，而高维复流形的单值化是远没有搞清楚的问题的，所以N理论大概要深得多。就像在代数几何之上考虑算术几何才是合适的，解析N理论其实也还有好多地方可以做的。BTW，你关心算术几何否？
•   数论懂得太少，没办法关心算术几何···不过我知道有很多correspondence。
  N理论是解析的，解析的比代数的复杂很多，所以肯定有趣很多。
  N理论是从很根本的角度研究很一般的解析对象，个人还是很看好这个理论。尽管算术几何今后根本不可能从事了，但是我还是相信N理论会对今后的工作有用。
  我暑假准备看看GTM 52，我觉得看过GH再看52能够得到完全不同的乐趣。
•   G的那一整套玩意就是为数论打造的，解析的情况清楚的话，不少交换代数的地方可以借助类比跳过去——我知道这样相当糟糕，不过对我现在关心的东西来说，基本也够用了。
  Voisin的两卷Hodge理论也极清楚，可以读一读的。Hodge猜想虽然难，不过Griffiths做不了的事，未必后辈也不行：）
•   为什么总是理科生比文科生更像文科生，甚至越是顶级的理科生越如此。。
•   经典的复分析理论是由3位风格各异的大师奠定的：Cauchy的积分表示观点，Weierstrass的幂级数表示观点和Riemann的复几何观点。近代恰好也有3位大师写过复分析的入门书：Ahlfors、H.Cartan以及小平邦彦。
  精辟！收藏了
•   Cartan的《解析函数论》 指的是这本书？谢谢
  http://book.douban.com/subject/3135003/
•   这篇书评神了！！！
•   学习大师著作 和 学习数学历史 是两码事，所以你举 邱反对读 Spivak 的例子并不恰当，甚至可以说是个反例，因后者写的书无疑属于Abel所说的“门徒的著作”。
•   Kodaira的这本书的选材并非“复古”，而是准确反映了复分析发展的原动力。
  世人皆知 Riemann 和 Weierstrass 是建立单复变函数论的主要人物，但其实他们之所以做这方面的工作，并非因为对一般理论很感兴趣，而是为他们自己的 Abel 函数方面的研究奠定基础，这也是他们建立个人声望的主要领域。打个比方，这类似于之后 Weil为了研究Abel簇的算术而着手为一般的抽象代数几何奠定基础。
  如果你去翻翻 Siegel 写的三卷本 Theory of Complex functions ，会更容易明白这一点。