微分几何

出版时间：2009-12  出版社：高等教育  作者：梅向明 编  页数：230  
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前言

本书是配合我和黄敬之编写的《微分几何（第四版）》教材的教学参考书。《微分几何》一书自从1987年出版以来，被国内许多高等院校的数学专业作为教材，我们深表感谢。但是由于国内的高等院校数学专业的师资条件和学生质量很不平衡，而我们的教材又力求用近代的观点来讲授微分几何的基础内容，所以这样一本与教材配套的教学参考书对于部分教师和学生，使他们能更好地掌握教材的内容，是必要的。这本书的主题思想有两个：一是学习指导，二是习题选解。在“学习指导”部分，我们突出了教材中的重点和难点以及解题所需要的基本概念和基本公式。不过，为了尽量避免和教材重复，对于基本概念，我们只列出名词，具体内容读者可以查阅教材。读者使用这本辅导书时，必须紧密结合教材，“学习指导”只起加深对教材的理解和复习巩固作用，同时为解题做好准备。“习题选解”分成两部分：一部分是习题，除了教材中的习题外，我们还选了一些其他教材中的习题，它们分散列于有关章节的后面；另一部分是习题选解和解题指导，放在这本书的第二部分。这本书的合作者王汇淳副教授已不幸故去，所以编写和补充的工作由我独自完成。我年事已高，显得有些力不从心，希望使用这本参考书的读者，对本书的错误和不足之处，继续给予批评和指正。

内容概要

本书是学习《微分几何(第四版)》(梅向明、黄敬之编)的配套参考书。书中第一部分是学习指导及习题，指出各章节的理论要点，并通过例题提高读者对概念、定理的认知水平。第二部分是解题指导与答案，对各类习题给出了详尽的分析和规范的解题过程，以期提高读者的解题能力。    本书可供研读《微分几何(第四版)》的学生、教师，以及自学本课程的读者参考。

书籍目录

第一部分  学习指导及习题　第一章  曲线论　　§1  向量函数    　1.1  向量函数的极限    　1.2  向量函数的连续性    　1.3  向量函数的微商及泰勒展开式    　1.4  向量函数的积分    　习题  1.1　　§2  曲线的概念    　习题  1.2　　§3  空间曲线    　3.1  空间曲线的密切平面    　3.2  空间曲线的基本三棱形    　3.3  空间曲线的曲率、挠率和伏雷内公式    　3.4  空间曲线在一点邻近的结构    　3.5  空间曲线论的基本定理    　3.6  一般螺线    　习题 1.3    §4  全章小结　第二章  曲面论　　§1  曲面的概念    　1.1  简单曲面及其参数表示    　1.2  光滑曲面    　1.3  曲面上的曲线族和曲线网    　习题  2.1　　§2  曲面的　第一基本形式    　2.1  曲面的　第一基本形式  曲面上曲线的弧长    　2.2  曲面上两方向的交角    　2.3  正交曲线族和正交轨线    　2.4  曲面域的面积    　2.5  等距变换    　2.6  保角变换    　习题  2.2　　§3  曲面的　第二基本形式    　3.1  曲面的　第二基本形式    　3.2  曲面上曲线的曲率    　3.3  迪潘指标线    　3.4  曲面的渐近方向和共轭方向    　3.5  曲面的主方向和曲率线    　3.6  曲面的主曲率、高斯曲率和平均曲率    　3.7  曲面在一点邻近的结构    　3.8  高斯曲率的几何意义    　习题  2.3　　§4  直纹面和可展曲面    　4.1  直纹面    　4.2  可展曲面    　习题  2.4　　§5  曲面论的基本定理    　5.1  曲面的基本方程和克里斯托费尔符号    　5.2  曲面的黎曼曲率张量和高斯-科达齐-迈因纳尔迪公式    　5.3  曲面论的基本定理    　习题  2.5　　§6  曲面上的测地线    　6.1  曲面上曲线的测地曲率    　6.2  曲面上的测地线    　6.3  曲面上的半测地坐标网    　6.4  曲面上测地线的短程性    　6.5  高斯-波涅公式    　6.6  曲面上向量的平行移动    　习题  2.6　　§7  常高斯曲率的曲面    　7.1  常高斯曲率的曲面    　7.2  伪球面    　7.3  罗氏几何    　习题  2.7　　§8  全章小结　第三章  外微分形式和活动标架　　§1  外微分形式    　1.1  格拉斯曼代数    　习题  3.1.1    　1.2  外微分形式    　习题  3.1.2    　1.3  弗罗贝尼乌斯定理    　习题  3.1.3　　§2  活动标架    　2.1  合同变换群    　2.2  活动标架    　2.3  活动标架法　　§3  用活动标架法研究曲面    　习题  3.3　第四章  整体微分几何初步　　§1  平面曲线的整体性质    　1.1  旋转数    　习题  4.1.1    　1.2    　曲线    　习题  4.1.2    　1.3  等周不等式    　习题  4.1.3    　1.4  四顶点定理    　习题  4.1.4    　1.5  等宽曲线    　习题  4.1.5    　1.6  平面曲线上的Crofton公式    　习题  4.1.6　　§2  空间曲线的整体性质    　2.1  芬切尔定理    　习题  4.2.1    　2.2  球面上的Crofton公式    　习题  4.2.2    　2.3  Fary-Milnor定理    　2.4  闭曲线的全挠率    　习题  4.2.4　　§3  曲面的整体性质    　3.1  曲面的整体定义    　3.2  曲面的一般性质    　3.3  卵形面    　习题  4.3.3    　3.4  完备曲面    　3.5  负常高斯曲率的曲面    　习题  4.3.5　　§4  完备曲面的比较定理    　4.1  完备曲面的极坐标系    　4.2  比较定理    　4.3  完备曲面的比较定理    　习题  4.4第二部分  解题指导与答案  第一章  曲线论    　习题  1.1    　习题  1.2    　习题  1.3  第二章  曲面论    　习题  2.1    　习题  2.2    　习题  2.3    　习题  2.4    　习题  2.5    　习题  2.6    　习题  2.7  第三章  外微分形式和活动标架    　习题  3.1.1    　习题  3.1.2    　习题  3.1.3    　习题  3.3  第四章  整体微分几何初步    　习题  4.1.1    　习题  4.1.2    　习题  4.1.3    　习题  4.1.4    　习题  4.1.5    　习题  4.1.6    　习题  4.2.1    　习题  4.2.2    　习题  4.2.4    　习题  4.3.3    　习题  4.3.5    　习题  4.4

章节摘录

插图：微分几何的发展，就其使用的数学方法而言可以分为三个阶段。第一阶段由牛顿（Newton）和莱布尼茨（Leihniz）创立微积分开始，直至18世纪初，在此期间，欧拉（Euler）对微分几何学的创立和发展作出了巨大贡献。到了1827年，高斯（Gauss）在曲面论的研究方面有了重大突破——发现曲面的高斯曲率的内蕴性，开始了微分几何发展的第二阶段。这一阶段基本形成了经典微分几何的内容和体系，使用的数学方法是向量分析的方法。1885年，德国数学家黎曼（Riemann）把高斯的内蕴几何思想进一步发展，并使用和发展了一套完整的张量分析的算法，展开了黎曼几何的一般理论。微分几何发展的第三个阶段是以法国数学家嘉当（cartan）发展外微分法和活动标架理论为标志，数学大师嘉当精巧地把李群论与微分几何结合起来，外微分和活动标架法就成为这一阶段研究问题的重要数学方法。《微分几何（第四版）》教材首先应用向量分析的方法介绍曲线与曲面的理论。篇首作为预备知识，先讲向量函数的概念和性质，然后用两章的篇幅介绍曲线和曲面的一般理论。第三章介绍外微分形式和活动标架法，第四章讲述了整体微分几何中的一些重要定理。本参考书将对教材中习题作出选解，并增补少量习题供读者练习。

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《微分几何(第4版):学习指导与习题选解》：微分几何的主要内容是三维欧氏空间的曲线论和曲面论，欧拉是微分几何的重要奠基人，他早在1736年就引进了平面曲线的内蕴坐标概念，即以曲线弧长作为曲线上点的坐标，从而开始了曲线的内蕴几何的研究，曲面伦的奠基人是19世纪的高斯……

用户评论 (总计42条)

•   我是再自学微分几何，而且看的是第三版，还好这本书把第三版课后习题几乎都包括了的，而且还增加了很多新题，不错的一本参考书！
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•   没有课后习题答案 可以说是一本简化教材
•   跟课本习题不是太对照
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•   书海可以，速度挺快
•   下单没注意，多买了一本，还好书不贵，要不亏大了
•   书皮有折的痕迹，但里面都是新的。还算满意吧。
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•   书得质量好像不是很好啊，不过内容很好的，赞
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•   这本书挺好的，题目大概都有的，很实用
•   和第三版不是完全配套，习题比我的书上的题目多，涉及面比较多，书本上的所有习题在这本习题解上都有。总的来讲很好。满意