微分几何

出版时间：2008-4  出版社：高等教育出版社  作者：周建伟 著  页数：258  

前言

　　微分几何是一门历史悠久的学科，可以说，微分几何是与微积分同时诞生的，微积分最初研究的对象包括曲线的切线与长度，曲线围成的区域面积等内容。微积分在几何中的应用后来发展成为本书介绍的曲线论与曲面论。这门学科的生命力至今很旺盛，近几十年来它与数学中其他分支如代数、拓扑、分析，与物理等学科互相影响促进，有许多应用。它的内容与研究方法也在不断发展，一直处于数学研究的中心。　　这是一本微分几何的入门教材，用解析几何、微积分、线性代数等工具研究三维欧氏空间的曲线与曲面，希望有兴趣的读者进一步学习研究微分几何。全书共五章，第一章以Frenet公式及曲率，挠率为中心介绍经典的空间曲线理论。现代微分几何研究的中心是整体问题，或大范围问题，第二章介绍一些平面曲线的整体微分几何。第三章以第一，第二基本形式为主线介绍空间曲面的局部理论。　　这本教材在科学合理取材与安排，在定理的证明等方面作一些尝试，努力做到纲目清楚，论证严格，易于教学。写作时注意区分局部性质与整体性质，在整体微分几何的选材上注意所选内容有典型性能反映微分几何的发展及应用，也考虑到学生的接受能力以及教材的前后一致等。教材介绍的整体微分几何的内容是经典的，希望通过这些内容的学习开拓视野。

内容概要

　　《微分几何》是普通高等教育“十一五”国家级规划教材，全书共分五章，第一章以Frenet公式为中心介绍窨曲线理论；第二章介绍一些平面曲线的整体微分几何；第三章以第一、第二基本形式为主线介绍空间曲面的局部理论；第四章介绍曲面上的测地线与Gauss-Bonnet公式；第五章介绍曲面上矢量的平行移动与Levi-Civita联络以及了解研究曲线、曲面几何的方法如何推广到Riemann流行上。

书籍目录

第一章 空间曲线1.1 预备知识习题1.11.2 曲线的概念1.2.1 曲线的一般概念1.2.2 弧长与弧长参数习题1.21.3 空间曲线的nenet公式1.3.1 曲线的密切平面1.3.2 曲线的基本三棱形1.3.3 曲线的曲率和挠率1.3.4 空间曲线在一点附近的形状习题1.31.4 平面曲线的nenet公式习题1.41.5 nenet公式的运用1.5.1 渐伸线与渐缩线1.5.2 球面曲线1.5.3 Bertrand曲线1.5.4 一般螺线习题1.51.6 空间曲线论基本定理习题1.6第二章 平面曲线的整体性质2.1 平面闭曲线的等周不等式习题2.12.2 平面曲线的旋转指标定理习题2.22.3 卵形线2.3.1 凸曲线2.3.2 四顶点定理2.3.3 支持函数习题2.3第三章 曲面的局部理论3.1 曲面习题3.13.2 曲面的第一基本形式3.2.1 第一基本形式3.2.2 曲面的面积3.2.3 曲面上方向的夹角，正交网习题3.23.3 曲面的等距变换与保角变换3.3.1 等距变换3.3.2 保角变换习题3.33.4 曲面的第二基本形式3.4.1 曲面的第二基本形式3.4.2 法曲率3.4.3 渐近曲线习题3.43.5 主方向与主曲率Euler公式3.5.1 主方向与主曲率3.5.2 Euler公式习题3.53.6 Gauss曲率3.6.1 Gauss曲率3.6.2 Gauss映射3.6.3 Gauss的绝妙定理习题3.63.7 直纹面与可展曲面3.7.1 直纹面3.7.2 可展曲面习题3.73.8 一些特殊曲面3.8.1 常Gauss曲率曲面3.8.2 极小曲面习题3.83.9 曲面论基本定理3.9.1 曲面的基本方程3.9.2 曲面论基本定理习题3.9第四章 测地线与Gauss-Bonnet公式4.1 曲面上的测地线4.1.1 测地曲率4.1.2 测地线4.1.3 曲面上的半测地坐标网习题4.14.2 Gauss-Bonnet公式4.2.1 平面闭曲线的旋转指标4.2.2 Gauss-Bonnet公式习题4.24.3 整体曲面与Euler数4.3.1 整体曲面4.3.2 曲面的三角剖分与Euler示性数习题4.34.4 整体的Gauss-Bonnet公式4.4.1 整体的Gauss-Bonnet公式4.4.2 Gauss映射的映射度4.4.3 卵形面习题4.4第五章 曲面上的Levi-Civita联络5.1 曲面上矢量的平行移动5.1.1 曲面上矢量的平行移动5.1.2 平行矢量场的角变差习题5.15.2 曲面上的Levi-Civita联络5.2.1 曲面上的矢量场5.2.2 曲面上的矢量场与Euler数5.2.3 曲面上的Levi-Civita联络习题5.25.3 外微分形式与活动标架法5.3.1 外微分形式5.3.2 活动标架法习题5.35.4 Riemann几何简介5.4.1 Riemann几何简介5.4.2 一个重要的例子习题5.4附录1 变分法1 弧长变分2 面积变分附录2 旋转角附录3 空间的等距变换习题名词索引参考文献