函数论与泛函分析初步

出版时间：2006-1  出版社：高等教育出版社  作者：[俄]A.H.柯尔莫戈洛夫 等  页数：452  译者：段虞荣,郑洪深,郭思旭  
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前言

　　从上世纪50年代初起，在当时全面学习苏联的大背景下，国内的高等学校大量采用了翻译过来的苏联数学教材。这些教材体系严密，论证严谨，有效地帮助了青年学子打好扎实的数学基础，培养了一大批优秀的数学人才。到了60年代，国内开始编纂出版的大学数学教材逐步代替了原先采用的苏联教材，但还在很大程度上保留着苏联教材的影响，同时，一些苏联教材仍被广大教师和学生作为主要参考书或课外读物继续发挥着作用。客观地说，从解放初一直到文化大革命前夕，苏联数学教材在培养我国高级专门人才中发挥了重要的作用，起了不可忽略的影响，是功不可没的。. 改革开放以来，通过接触并引进在体系及风格上各有特色的..

内容概要

《函数论与泛函分析初步(第7版)》是世界著名数学家A.H.柯尔莫戈洛夫院士在莫斯科大学数学力学系多年讲授泛函分析教程(曾称《数学分析Ⅲ
》)的基础上编写的。《函数论与泛函分析初步(第7版)》是关于泛函分析与实变函数论的精细问题的严格的系统阐述，书中反映了作者的教育思想，体现了作者丰富的教学经验与方法。内容包括：集合论初步，度量空间与拓扑空间，赋范线性空间与线性拓扑空间，线性泛函与线性算子，测度、可测函数、积分，勒贝格不定积分、微分论，可和函数空间，三角函数傅里叶变换，线性积分方程，线性空间微分学概要以及附录的巴拿赫代数。
《函数论与泛函分析初步(第7版)》适合数学、物理及相关专业的高年级本科生、研究生、高校教师和研究人员参考使用。

书籍目录

第一章  集论初步
  §1.集的概念，集上的运算
  §2.映射，分类
  §3.集的对等性，集的势的概念
  §4.有序集，超限数
  §5.集族
第二章  度量空间与拓扑空间
  §1.度量空间的概念
  §2.收敛性.开集与闭集
  §3.完备度量空间
  §4.压缩映射原理及其应用
  §5.拓扑空间
  §6.紧性
  §7.度量空间的紧性
  §8.度量空间中的连续曲线
第三章  赋范线性空间与线性拓扑空间
  §1.线性空间
  §2.凸集与凸泛函，哈恩-巴拿赫(Hahn-Banach)定理
  §3.赋范空间
  §4.欧几里得空间
  §5.线性拓扑空间
第四章  线性泛函与线性算子
  §1.线性连续泛函
  §2.共轭空间
  §3.弱拓扑与弱收敛
  §4.广义函数
  §5.线性算子
  §6.紧算子
第五章  测度，可测函数，积分
  §1.平面集的测度
  §2.一般测度概念.测度从半环到环上的扩张.加性和σ加性
  §3.测度的勒贝格扩张
  §4.可测函数
  §5.勒贝格积分
  §6.集族及其测度的直积.富比尼(Fubini)定理
第六章  勒贝格不定积分.微分论
  §1.单调函数.积分对上限的可微性
  §2.有界变差函数
  §3.勒贝格不定积分的导数
  §4.用函数的导数求原函数.绝对连续函数
  §5.作为集函数的勒贝格积分，拉东-尼柯迪姆(Radon-Nikodym)定理
  §6.斯蒂尔切斯(stieltjes)积分
第七章  可和函数空间
  §1.空间L1
  §2.空间L2
  §3.L2 中的正交函数系.按正交系展开的级数
第八章  三角级数，傅里叶变换
  §1.傅里叶级数收敛的条件
  §2.费耶(Fejer)定理
  §3.傅里叶积分
  §4.傅里叶变换，它的性质与应用
  §5.空间L2(-∞，∞)中的傅里叶变换
  §6.拉普拉斯(Laplace)变换
  §7.傅里叶-斯蒂尔切斯变换
  §8.广义函数的傅里叶变换
第九章  线性积分方程
  §1.基本定义.导致积分方程的某些问题
  §2.弗雷德霍姆积分方程
  §3.含参数的积分方程.弗雷德霍姆法
第十章  线性空间微分学概要
  §1.线性空间中的微分法
  §2.隐函数定理及其某些应用
  §3.极值问题
  §4.牛顿(Newton)法
附录巴拿赫代数(B.M.季霍米洛夫)
  §1.巴拿赫代数的定义与一些例子
  §2.谱和预解式
  §3.几个辅助结果
  §4.基本定理
文献
各章的有关文献
索引
译者后记

章节摘录

版权页：   插图：   按照拓扑空间的定义，空集与全空间T同时既是开的又是闭的，在其中没有其他同时既是开的又是闭的集的空间称为连通空间，直线R1乃是连通空间中最简单的一个例子，而如果从R1中去掉一个或一些点，那么剩下的空间已不再是连通的了。 4.T中的收敛序列大家熟悉的度量空间中收敛序列的概念容易搬到拓扑空间，这就是说，设x1，x2，…，xn为T中的点列，如果点x的任一邻域含有这个序列从某项开始的所有点，则称T中的这个点列收敛于x.这个收敛性概念在度量空间中起着奠基性的作用，而在拓扑空间中却不是这样，因为在度量空间R中，点x是集MCR的接触点的充要条件为M中存在收敛于x的序列，而在拓扑空间中这一般说来不成立，在拓扑空间T中，从x是M的接触点（即x∈[M]）不能推出在M中存在收敛于x的序列，作为示例，我们取闭区间[0，1]，并认为它的子集（及空集）是开的而这些子集是从[0，1]中去掉任意有限个或可数个点得到的，不难证明，这样取的子集族此时满足公理1°与2°（5第1段），也就是说我们得到一个拓扑空间，在这个拓扑空间中，只有定常序列（即从某一下标开始，其元素都相同：xn=xn+1…的序列）才收敛（请读者自行证明！），另一方面，例如，如果我们取半开区问（0，1]作为M，那么点0就是M的接触点（读者验证之！），但M中的任一点列在上述拓扑空间中却不收敛于0。 如果我们考察的不是任意拓扑空间，而是具有第一可数性公理的空间（即空间T的每一点x皆存在可数的确定邻域族），那么，收敛序列“具有恢复自身的权利”，这时，任意集MT的每一接触点就可以看作M的某一点列的极限，事实上，设{On}是点x的可数的确定邻域族，可以认为On+1cOn（不然的话，我们用O2代替On），设xk是M中属于Ok（k=1，2，…）的任意一点，这样的xk显然存在，否则x不是M的接触点，于是，序列{xk}收敛于x。 正如我们已经指出，所有度量空间都满足第一可数性公理，所以我们也可以对度量空间所有这样的概念，如闭包，接触点等，用收敛序列的术语来叙述。

编辑推荐

《函数论与泛函分析初步(第7版)》适合数学、物理及相关专业的高年级本科生、研究生、高校教师和研究人员参考使用。

用户评论 (总计49条)

•   很严谨 较国内书更能夯实分析基础
•   俄罗斯的教材就是不错，很详细，很严谨，非常适合学习用，推荐
•   经典之作，俄罗斯系列
•   俄罗斯出产的佳作，买好就缺货了，幸亏我下手快~
•   必须完全掌握的一本书 比国内的书要好 可能会有难度
•   这本书要仔细阅读，才知道，非常不错
•   挺好的，我要当学霸
•   不要浪费时间在这哈桑面
•   有些内容罗列的嫌疑，总之像一本提纲，不喜欢。
•   因为不懂俄语，所以对翻译不做评论
•   稍微懂点翻译的人都知道，翻译有几个问题，译者自己没懂，会随意翻译或者干脆删了那段，这个书里面，至少中文的措辞有不少地方相当糟糕！本人不愿意为那是柯尔莫各留夫，这个大的数学家的问题。一定是书写的太漂亮了，而译者修养不足造成的！
•   态度问题，整个这一系列的书我买了五本，图书馆还借过另一本，一共六本，翻译都很糟糕。用词不当，语法生硬。绝不是技术层面的问题，肯定是态度不端正。
•   很棒的书，刨去一些符号错误不论，翻译多少有些差强人意
•   俄罗斯的书就是好，著名数学家写的，学起来会有很大收获的。建议大家多看俄罗斯的书。另外，卓越的服务非常优秀，赞 ！！！
•   东西很好，也很实惠，性价比很高。
•   俄罗斯大师的著作，好好研究下
•   帮同学买的，希望他有生之年一窥天运
•   送货挺快的，袋子有破损但没有影响书本身。买之前看了大量的评论说翻译不认真，但还是决定买了，首先冲着作者的名气，其次，我不打算拿它作为初学教材，作为参考，我相信还是非常好的选择。初步读来还是不错的，但只是初读，所以是大概感受。
•   经典泛函书籍，很不错。推荐
•   前苏联经典教材，值得一看
•   不管怎么样， 书质量很好， 翻译的已经很不错了， 大师的书绝对值得收藏， 丝丝入扣， 娓娓道来，
•   刚收到，看了几页，讲述很清楚，我这外行也能看得懂，很喜欢。网络真是好用，小城也可以找到这样的好书，卓越送货快，包装好，就是书少点，常显示无货。
•   这是一本，非常好的，实分析与泛函分析的入门书。买了不会后悔。
•   各位读者，这是好书，我以人品保证,苏联科学院大牛人写的。
•   　　在国内最有意思的是，
  　　泛函
  　　数学的翻译的概念的不同一，
  　　而且概念根本在书中是 不重视的，
  　　因为考试不考概念！
  　　其实数学最重要的对于概念的理解！
  　　例如我自己不理解，
  　　自己造了一个概念共轭空间，其实呢？没有这样的定义，
  　　有对偶空间（泛函），共轭算子
  　　研究数学，研究什么？
  　　其实本质就是研究无限，
  　　最重要的一个数论，研究潜无限，
  　　一个研究区间无限！
  　　我们学习数学，
  　　不能只研究低级概念，
  　　要研究比较高级的概念，
  　　这样才能把底下看清楚！
  　　所以研究泛函，就是一个途径！
  　　泛函最重要的概念就是：
  　　无限与有限的区别，
  　　这个概念最重要：
  　　
  　　所谓的线性代数和泛函分析最大的字面的区别就是一个研究有限，
  　　
  　　一个研究无限，
  　　有限的可以列举，可以用数学归纳法，极值存在且唯一，就是初中学到的抽屉原理，这样的原理保证了不同的度量方式的也就是不同的范数的测度都一致，也就是积分路径不影响积分数值！
  　　
  　　无限不可以列举，极值不一定存在，所以用没有数学归纳法，
  　　但是可以利用不等式，可以利用序的概念，
  　　假设一个理想的元素，利用射影的思想，可以把无限点像包括的加入，可以先假设极值存在，然后寻找一个极限！
  　　如果无限有界的话，那么就可以估值，
  　　无限与变化有关，我们可以划定一个范围，
  　　就是寻找一个极限的区间，
  　　然后利用很巧妙的一些极限去理解和分析这些概念！
  　　
  　　
  　　还有一个现象不知道大家注意没有，
  　　就是空间（有结构的集合）研究其子集，
  　　因为无限的一个最大的特点就是：
  　　子集====其全集！！！
  　　最关键性的定理HANN-BRANCH定理：
  　　本质就是希望需找一个能够代表其全空间的函数
  　　
  　　读泛函的一个问题，就是对于书中每个例题的平均用力，
  　　这样有时候，就把关键的概念的线索给舍弃了！
  　　读书不求正解，就是抓住主要的概念的意义！！
  　　其实最关键就是，不要被书所干扰！
  　　做书的人，而不是做书的奴隶！！
  　　其实，读书就是与做斗争的过程！！
  　　
  　　读泛函最重要的就是和数值分析结合起来，结合起来后，一切就变的普通而不是那么的高贵和神秘了！！
  　　数值分析最重要的观点就是迭代，就是一切递推，一切离散，一切加减法，那什么能保证序列化的唯一性，那就是泛函的无穷的完备化，延拓定理的（在一个全空间的子空间中找到一个函数然后扩大到全空间）
  　　
  　　这本书是夏道行的那本的爷爷书！！！
  　　
  　　
  　　快一年了，现在发现过去的认识真的是很幼稚，希望不要给读到的人误解就好。
  　　泛函分析是有典型的现代数学的影子在里面：
  　　涵盖的学科很多，语言抽象而又晦涩，但是，在应用中又很广泛，读一遍或者学一遍是学不明白的，下功夫不仅仅在这本书，还要在代数，拓扑，复分析，偏微分方程，积分方程里面下功夫，才能有所真切理解。。。。。2013.9.10
•   　　觉得翻译的这3个人里应该有学数学的吧，虽然有的话译的还是有点拗口，但相似度有90%以上了，读起来不会让人觉得看不懂中文。整本书思路非常清晰连贯，有点贪心想要是他写的时候多配点图多好，那就真感觉是在上他课的了。我就纳闷了这些东西我们变态男讲的时候就愣是听不懂呢怎么！
  　　
  　　ps 这系列教材也不都是好的，严重吐槽卓里奇的数学分析，写的多闹心啊还那么多人去硬啃
  　　
  　　pps 鲁丁那本泛函分析不适合初学者
•   　　之前看过国内出版的实变函数和泛函分析教材，但是没什么感觉，看过就忘了，只有这本书给我留下深刻印象。读这本书好像在读kolmogorov的大脑，处理一个数学问题直接了当，毫不拖泥带水，好像数学一下变得很简单了。想起什么人说过：kolmogorov和Gelfand一同来到一个有很多山的国家，kolmogorov二话不说拣最高的山直接就爬上去，而Gelfand则开始修条公路。这本书给人的感觉也是如此。
•   　　我最近在参考这本书看函数论的部分，不得不赞叹大师写的书真的是不同凡响。
  　　我觉得最精彩的部分在于对Lebesgue积分的构建。他采用了从简单函数，构造简单函数列去极限定义一般有界可测函数，再到一般可测函数。思路非常清楚。
  　　我们复旦数学系原来一个老师开《实变函数》课程的时候用的是自己的讲义，他在构建Lebesgue定积分的时候采用的是从Riemann积分过渡来的，类似定义Darboux大和和Darboux小和取夹逼极限得到的，虽然说也不是不清楚，但他又选取了过多的材料来建构他的体系，让人看起来实在是吃力。
  　　我们基础数学系的系主任现在开始采用这本书来讲授实变课程了。他赞誉这本书非常的清晰而且具有很好的可读性。依我看，这个评价不算低。
  　　它的特色在于：能让读者清晰的把握函数论里涉及集合论，可测集，可测函数等等领域中最本质的东西。而且通过从简单情形向一般情形（主要采用极限构造的形式）过渡的方式，将抽象内容用现成的理论来类比，理解起来不费力。我们概率系的系主任在编著他的《概率论》教材是就是采用了这样的思路，非常的明智。
  　　然而，它的缺点在于：因为本书最初出版在二十世纪五十年代，这半个多世纪以来集合论与函数论发生了蓬勃的发展，这本书所能透露的这些进步就几乎没有了。比如说：该书采用的集合论是朴素集合论，建立在选择公理之上的，由此得到了可列势与连续统之间不存在其他的势（连续统假设），但七十年代完成的在否定连续统假设下构造的不矛盾模型显然是作者无法看到的。
  　　不论怎样，作为一门函数论与泛函分析的入门教材，这本书只能用“气质非凡”来评价。
•   　　1903年4月25日，A．N．柯尔莫戈洛夫出生于俄罗斯的坦博夫城。他的父亲是一名农艺师和作家，在政府部门任职，1919年去世。他的母亲出身于贵族家庭，在他出生后10天去世。他只好由二位姨妈抚育和指导学习，她们培养了他对书本和大自然的兴趣和好奇心。他5、6岁时就归纳出了“l＝1^2，1+3＝2^2，1+3+5二3^2，1+3+5+7＝4^2．…”这一数学规律。1910年他进入莫斯科一所文法学校预备班，很快对各科知识都表现出浓厚的兴趣：14岁时他就开始自学高等数学，汲取了许多数学知识，并掌握了很多数学思想与方法。1920年他高中毕业，进入莫斯科大学，先学习冶金，后来转学数学，并决心以数学为终身职业。大学三年级时就发表了论文，表现出卓越的数学才能，载誉国际。1925年大学毕业后，当研究生。1929年研究生毕业后，担任莫斯科大学数学力学研究所助理研究员。1935年获得苏联首批博士学位。1931年起他担任莫斯科大学教授，并指导研究生。1933年担任莫斯科大学数学力学研究所所长，创建了概率论、数理统计、数理逻辑、概率统计方法等教研室，先后教过数学分析、常微分方程、复变函数论、概率论、数理逻辑和信息论等课程。1939年当选为原苏联科学院院士、主席团委员和数学研究所所长。1954年担任莫斯科大学数学力学系主任。1966年当选为原苏联教育科学院院士。
  　　
  　　曾任《苏联大百科全书》数学学科的主编，长期担任《数学科学的成就》杂志的主编，创办《概率论及其应用》学术杂志和供中学生阅读的《量子》科普杂志。
  　　
  　　 他十分重视中学数学教育。上世纪30年代起就指导全国中学生数学奥林匹克竞赛活动，编写辅导书籍，亲自给学生讲课。创办物理数学寄宿学校，培养了大批优秀中学生。先后担任苏联科学院科学教育委员会数学部主任和教育部中学教科书委员会数学部主任，主持编写中学数学教学大纲和教科书，从事教学改革试验。他一生发表学术论文488篇(包含合作文章)和科普文章57篇。他是一位伟大的教育家。他热爱学生，对学生严格要求，指导有方，直接指导的学生有67人，他们大多数成为世界级的数学家，其中14人成为前苏联科学院院士。1987年10月20日在莫斯科逝世，享年84岁。 他的研究范围广泛：基础数学、数理逻辑、实变函数论、微分方程、概率论、数理统计、信息论、泛函分析力学、拓朴学……以及数学在物理、化学、生物、地质、冶金、结晶学、人工神经网络中的广泛应用。他创建了一些新的数学分支——信息算法论、概率算法论和语言统计学等。下面简要地介绍他的一些数学成就。
  　　
  　　1． 在随机数学——概率论，随机过程论和数理统计方面
  　　
  　　 1924年他念大学四年级时就和当时的苏联数学家辛钦一起建立了关于独立随机变量的三级数定理。1928年他得到了随机变量序列服从大数定理的充要条件。1929年得到了独立同分布随机变量序列的重对数律。1930年得到了强大数定律的非常一般的充分条件。1931年发表了《概率论的解析方法》一文，奠定了马尔可夫过程论的基础，马尔可夫过程对物理、化学、生物、工程技术和经济管理等有十分广泛应用，仍然是当今世界数学研究的热点和重点之一。1932年得到了含二阶矩的随机变量具有无穷可分分布律的充要条件。1934年出版了《概率论基本概念》一书，在世界上首次以测度论和积分论为基础建立了概率论公理结论，这是一部具有划时代意义的巨著，在科学史上写下原苏联数学最光辉的一页。1935年提出了可逆对称马尔可夫过程概念及其特征所服从的充要条件，这种过程成为统计物理、排队网络、模拟退火、人工神经网络、蛋白质结构的重要模型。1936—1937年给出了可数状态马尔可夫链状态分布。 1939年定义并得到了经验分布与理论分布最大偏差的统计量及其分布函数。上世纪30～40年代他和辛钦一起发展了马尔可夫过程和平稳随机过程论，并应用于大炮自动控制和工农业生产中，在卫国战争中立了功。1941年他得到了平稳随机过程的预测和内插公式。1955—1956年他和他的学生，苏联数学家Y．V．Prokhorov开创了取值于函数空间上概率测度的弱极限理论，这个理论和苏联数学家A．B．Skorohod引入的D空间理论是弱极限理论的划时代成果。
  　　
  　　2． 在纯粹数学和确定性现象的数学方面
  　　
  　　 1921年他念大学二年级时开始研究三角级数与集合上的算子等许多复杂问题，名扬世界。1922年定义了集合论中的基本运算。1925年证明了排中律在超限归纳中成立，构造了直观演算系统，还证明了希尔伯特变换中的一个车贝雪夫型不等式。1932年应用拓朴、群的观点研究几何学。1936年构造了上同调群及其运算。1935—1936年引入一种逼近度量，开创了逼近论的新方向。1937年给出了一个从一维紧集到二维紧集的开映射。1934～1938年定义了线性拓扑空间及其有界集和凸集等概念，推进了泛函分析的发展。上世纪50年代中期，他和他的大学三年级学生V．I．Arnord、德国数学家J．K．Moser一起建立了KAN理论，解决了动力系统中的基本问题。他将信息论用来研究系统的遍历性质，成为动力系统理论发展的新起点。1956～1957年，他提出基本解题思路，由他的学生V．IArnord，彻底解决了希尔伯特第13问题。
  　　
  　　 3．在应用数学方面
  　　
  　　 在生物学中，1937年他首次构造了非线性扩散行波型稳定解，1947年提出了分支过程及其灭绝概率，1939年验证基因遗传的孟德尔定律。在金属学中，1937年研究了金属随机结晶过程中一个给定点属于结晶团的概率及平均结晶的数目。1941年应用随机过程的预测和内插公式于无线电工程、火炮等的自动控制、大气海洋等自然现象。在流体力学中，上世纪40年代得出局部迷向湍流的近似公式。 综观柯尔莫戈夫的一生，无论在纯粹数学还是应用数学方面，在确定性现象的数学还是随机数学方面，在数学研究还是数学教育方面，他都作出了杰出的贡献。
  　　
  　　由于他的卓越成就，他在国内外享有极高的声誉。他是美国、法国、民主德国、荷兰、波兰、芬兰等20多个科学院的外国院士，英国皇家学会外国会员，他是法国巴黎大学，波兰华沙大学等多所大学的名誉博士。1963年获国际巴尔桑奖，1975年获匈牙利奖章，1976年获美国气象学会奖章、民主德国赫姆霍兹奖章，1980年获世界最著名的沃尔夫奖。在国内，1941年获国家奖，1951年获苏联科学院车贝雪夫奖，1963年获苏维埃英雄称号，1965年获列宁奖，1940年获劳动红旗勋章，1944—1979年获7枚列宁勋章、金星奖章及“在伟大的爱国战争中英勇劳动”奖章，1983年获十月革命勋章，1986年获苏联科学院罗巴切夫斯基奖。
  　　
  　　 他热爱生活，兴趣广泛，喜欢旅行、滑雪、诗歌、美术和建筑。他十分谦虚，从不夸耀自己的成就和荣誉。他淡泊名利，不看重金钱，他把奖金捐给学校图书馆，并且不去领取高达10万美元的沃尔夫奖。他是一位具有高尚道德品质和崇高的无私奉献精神的科学巨人
•   虽然有些句子有点不通，感叹号有点多，但真的是很受用的文章
•   Rudin的书前言里就说是研究生的书了，肯定不适合初学者
•   我听有人说这书译得不太好，请问是这样吗？
•   Andrey Nikolaevich Kolmogorov 在二十世纪数学领域中绝对是个大神级的人物.
•   我也觉得译得不好·····
•   提示: 有关键情节透露
  这个好可爱~
•   汗 。。。
•   郭上课的时候的确提过因为写太早所以很多东西没有
  不过这本书的翻译的确不怎么样。据说下学期要开英语版的。
•   真的假的 有意思 那是用哪本教材呢 我最近在看Folland的real analysis 这本书很不错的 据说是实分析的经典
•   额，就是这本的英语版…理由就是翻译问题，不过具体还没确认
•   这本书不用翻译的啦 好像还没有翻译成中文 应该很好懂的 我看下来感觉还不错 再加上老师讲的话肯定没什么大问题的
•   其实这书里没有说一切可数超限数的集的序相当的势就是连续统的势，所以不能推论说可列势与连续统之间不存在其他的势
•   这个学期复旦的本科生实变函数课用的就是这本教材？
•   好像早换了吧 这至少是两年前的了
•   看下个学期的书单好像还是这本。。
•   这…… 我就不清楚了
•   哎 我09年上过徐胜芝的课。 徐胜芝上课时还说讲义上这种处理方式是一大优点，比从简单函数开始步骤少。怀念啊，09年以后徐胜芝就没开过实变课
•   比如说：该书采用的集合论是朴素集合论，建立在选择公理之上的，由此得到了可列势与连续统之间不存在其他的势（连续统假设）
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  AC和连续统假设独立的吧，如果书里这么说，那么不是疏漏，而是错误。
•   请教一下本书P97第四行 为什么0不属于M-N的核？谢谢
•   太牛逼了…原来最近在学的人工神经元网络和马尔可夫链是他搞的。不过最后那个“在伟大的爱国战争中英勇劳动”奖章让我喷了…